Auswahlprinzip von Bessaga-Pelczynski

Das Auswahlprinzip v​on Bessaga-Pelczynski i​st ein Satz a​us dem mathematischen Teilgebiet d​er Funktionalanalysis, d​er die Existenz v​on Basisfolgen i​n beliebigen unendlichdimensionalen Banachräumen sichert. Er i​st nach d​en polnischen Mathematikern Czesław Bessaga u​nd Aleksander Pełczyński benannt, d​ie ihn 1958 veröffentlicht haben.[1]

Erste Formulierung des Satzes

In einem Banachraum ${\displaystyle X}$ sei ${\displaystyle (e_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Schauderbasis mit Basiskonstante ${\displaystyle K}$ und Koeffizientenfunktionalen ${\displaystyle (e_{n}^{*})_{n\in \mathbb {N} }}$ . Weiter sei ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge in ${\displaystyle X}$ mit

• ${\displaystyle \textstyle \inf _{n\in \mathbb {N} }\|x_{n}\|>0}$
• ${\displaystyle \textstyle \lim _{n\to \infty }e_{m}^{*}(x_{n})=0}$   für alle   ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ .

Dann enthält ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Teilfolge ${\displaystyle (x_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }}$ , die kongruent zu einer Blockbasisfolge ${\displaystyle (y_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ von ${\displaystyle (e_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ist.[2] Zusätzlich kann man zu jedem ${\displaystyle \varepsilon >0}$ die Teilfolge so wählen, dass ihre Basiskonstante höchstens ${\displaystyle K+\varepsilon }$ ist.[3]

Zweite Formulierung des Satzes

Es sei ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine schwache Nullfolge mit ${\displaystyle \|x_{n}\|=1}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ in einem unendlichdimensionalen Banachraum. Dann enthält ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Teilfolge, die eine Basisfolge ist.

In[4] w​ird diese Formulierung "Bessaga-Pelczynski Selection Principle (Utility Grade)" genannt, d​ort finden s​ich Anwendungen dieser Formulierung d​es Auswahlprinzips.

Zusammenhang zwischen den Formulierungen

Die erste Formulierung ist stärker, wir zeigen hier, wie die zweite aus der ersten hergeleitet werden kann: Dazu genügt es, den von ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ erzeugten Unterbanachraum zu betrachten. Dieser ist abzählbar erzeugt und daher ein separabler Raum. Als solcher kann er nach dem Satz von Banach-Mazur als Unterraum des Funktionenraums ${\displaystyle C([0,1])}$ aufgefasst werden und dieser hat eine Schauderbasis ${\displaystyle (e_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ . Nun kann die erste Formulierung angewendet werden, denn die beiden Bedingungen an die Folge ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ergeben sich aus ${\displaystyle \|x_{n}\|=1}$ und ${\displaystyle x_{n}\rightarrow 0}$ in der schwachen Topologie. Insbesondere enthält ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Teilfolge, die eine Basisfolge ist.

Anwendung: Existenz von Basisfolgen

• Jeder unendlichdimensionale Banachraum enthält eine Basisfolge.

Beweis: Es genügt, unendlichdimensionale, separable Banachräume ${\displaystyle X}$ zu betrachten, und diese können nach dem Satz von Banach-Mazur ohne Einschränkung als Unterraum von ${\displaystyle C([0,1])}$ angesehen werden. Es sei ${\displaystyle (e_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Schauderbasis von ${\displaystyle C([0,1])}$ mit Koeffizientenfolge ${\displaystyle (e_{n}^{*})_{n\in \mathbb {N} }}$ . Da ${\displaystyle X}$ unendlichdimensional ist, kann man ohne Mühe eine Folge ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ in ${\displaystyle X}$ konstruieren mit ${\displaystyle \|x_{n}\|=1}$ und ${\displaystyle e_{k}^{*}(x_{n})=0}$ für alle ${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$ . Dann erfüllt ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ die Voraussetzungen der ersten Formulierung bzgl. des Banachraums ${\displaystyle C([0,1])}$ und wir erhalten eine Teilfolge, die Basisfolge ist, und diese liegt sogar in ${\displaystyle X}$ .[5]

Einzelnachweise

1. C. Bessaga, A. Pelczynski: On bases and unconditional convergence of series in Banach spaces, Studia Mathematica (1958), Band 17, Teil 2, Seiten 151–164, Theorem 3
2. Joseph Diestel: Sequences and series in Banach spaces, Springer-Verlag (1984), ISBN 0-387-90859-5, Kapitel V: Basic Sequences, Seite 46
3. F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory: Springer-Verlag (2006), ISBN 978-0-387-28142-1, Satz 1.3.10
4. Joseph Diestel: Sequences and series in Banach spaces, Springer-Verlag (1984), ISBN 0-387-90859-5, Kapitel V: Basic Sequences, Seite 42
5. F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory: Springer-Verlag (2006), ISBN 978-0-387-28142-1, Theorem 1.4.4