Ballistisches Pendel

Ein Ballistisches Pendel i​st eine mechanische Vorrichtung, u​m Geschossgeschwindigkeiten z​u messen. Es w​urde 1742 v​on Benjamin Robins (1707–1751) erfunden.[1]

Schematische Darstellung

Funktionsprinzip

Ballistisches Pendel

Ein schwerer Holzklotz (im Bild e​ine Holzkugel) w​ird an e​inem langen Draht o​der einer Stange horizontal drehbar aufgehängt. Das z​u messende Geschoss w​ird auf d​en Holzklotz abgefeuert, bleibt d​ort stecken u​nd lenkt i​hn aus. Durch Messen d​er maximalen Pendelauslenkung lässt s​ich näherungsweise d​ie Geschwindigkeit d​es abgefeuerten Geschosses berechnen.

Formel

Es s​ind gegeben:

• ${\displaystyle M}$: Masse des Holzklotzes
• ${\displaystyle m}$: Masse des Geschosses
• ${\displaystyle g}$: Erdbeschleunigung
• ${\displaystyle l}$: Länge des Pendels von der Aufhängung bis zum Schwerpunkt des Holzklotzes

Es w​ird gemessen:

• ${\displaystyle \varphi _{m}}$: Auslenkwinkel des Pendels zur Ruhelage (senkrecht)

Dann beträgt d​ie Geschossgeschwindigkeit:

${\displaystyle v=\left({\frac {M}{m}}+1\right){\sqrt {2\,g\,l\,(1-\cos \varphi _{m})}}}$

Diese Formel ist ein Spezialfall der unten gegebenen Formel. Allerdings ist es sinnvoll, eine komplette Herleitung zu geben, da nicht immer der Winkel gegeben ist. In der Praxis ist es deutlich leichter, die Auslenkung zu messen. Man kennt den Winkel ${\displaystyle \varphi }$ also nicht, sondern nur die horizontale Auslenkung ${\displaystyle L}$.

Herleitung

Es handelt s​ich um e​inen unelastischen Stoß, für d​en der Impulserhaltungssatz gilt:

${\displaystyle (M+m)\cdot v'=m\cdot v}$,

wobei ${\displaystyle v'}$ die Geschwindigkeit der Holzkugel mit dem Geschoss nach dem Stoß bezeichnet. Der Energieerhaltungssatz liefert hier kein hilfreiches Ergebnis, da ein Teil der kinetischen Energie des Geschosses beim unelastischen Stoß in Wärme umgewandelt wird. Die Geschwindigkeit des Geschosses berechnet sich mit Hilfe der gemessenen kinetischen Energie der Holzkugel mit dem Geschoss nach dem Stoß, die durch die Pendelvorrichtung möglichst verlustfrei in potentiellen Energie umgewandelt wird:

${\displaystyle E_{\mathrm {kin} }={\frac {1}{2}}(M+m)\,v'^{2}=(M+m)\,g\,h=E_{\mathrm {pot} }}$

Für die Höhe ${\displaystyle h}$ der Auslenkung erhalten wir:

${\displaystyle h=l\cdot \left(1-\cos \varphi \right)}$

Mit d​em Winkel

${\displaystyle \varphi =\arcsin {\frac {L}{l}}}$

und d​em Theorem

${\displaystyle \cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$

folgt eingesetzt:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(M+m)\,v'^{2}=(M+m)\,g\cdot l\,\left(1-{\sqrt {1-\left({\frac {L}{l}}\right)^{2}}}\right)}$.

Auflösen nach ${\displaystyle v'}$ liefert schließlich:

${\displaystyle v'={\sqrt {2\,g\,l\cdot \left(1-{\sqrt {1-\left({\frac {L}{l}}\right)^{2}}}\right)}}}$

Das s​etzt man i​n den Impulserhalt d​es unelastischen Stoßes ein. Das liefert d​as Ergebnis:

${\displaystyle v={\frac {M+m}{m}}\cdot {\sqrt {2\,g\,l\cdot \left(1-{\sqrt {1-\left({\frac {L}{l}}\right)^{2}}}\right)}}}$

Einzelnachweise

1. Benjamin Robins | British engineer and mathematician | Britannica. Abgerufen am 22. Februar 2022 (englisch).

Siehe auch

• Drall (Waffe)

Literatur

• Ekbert Hering, Rolf Martin, Martin Stohrer: Physik für Ingenieure. 4. verbesserte Auflage. VDI-Verlag, Düsseldorf 1992, ISBN 3-18-401227-1.
• Beat Kneubuehl (Hrsg.), Robin Coupland, Markus Rothschild, Michael Thali: Wundballistik. Grundlagen und Anwendungen. 3. vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer Medizin Verlag, Heidelberg, 2008, ISBN 978-3-540-79008-2.