Baire-Eigenschaft

Als Baire-Eigenschaft (oder Eigenschaft v​on Baire, engl. property o​f Baire o​der Baire property, n​ach René Louis Baire) bezeichnet m​an in d​er allgemeinen Topologie u​nd insbesondere d​er deskriptiven Mengenlehre e​ine Eigenschaft bestimmter gutartiger Teilmengen e​ines topologischen Raumes. Eine Menge h​at die Baire-Eigenschaft, w​enn sie s​ich nur u​m eine magere Menge v​on einer offenen Menge unterscheidet.

Definition

Eine Teilmenge ${\displaystyle M\subseteq X}$ eines topologischen Raumes ${\displaystyle X}$ hat genau dann die Baire-Eigenschaft, wenn eine offene Menge ${\displaystyle O\subseteq X}$ existiert, sodass die symmetrische Differenz ${\displaystyle M\bigtriangleup O}$ mager ist.

Bezug zur projektiven Hierarchie und zur Borel-Hierarchie

Jede abgeschlossene Menge in einem topologischen Raum ${\displaystyle X}$ hat die Eigenschaft von Baire,[1] dies lässt sich wie folgt zeigen: Der Rand ${\displaystyle \partial A}$ einer abgeschlossenen Menge ${\displaystyle A}$ ist nirgends dicht und somit mager, denn ist er dicht in einer offenen Menge ${\displaystyle O}$, so ist ${\displaystyle O\setminus \partial A\subset X\setminus A}$. Somit liegt kein Element von ${\displaystyle O\setminus \partial A}$ mit einer offenen Umgebung in ${\displaystyle X\setminus A}$. Doch ${\displaystyle X\setminus A}$ ist offen, somit muss ${\displaystyle O}$ leer sein und somit ${\displaystyle \partial A}$ nirgends dicht.

Jede Borel-Menge hat die Baire-Eigenschaft. Dies folgt per (abzählbarer) transfiniter Induktion über die Borel-Hierarchie: Haben alle Mengen aus ${\displaystyle \Pi _{m}^{0}}$ die Baire-Eigenschaft für alle Ordinalzahlen ${\displaystyle m<n}$, so hat auch jede ${\displaystyle \Sigma _{n}^{0}}$-Menge als abzählbare Vereinigung von Mengen mit der Baire-Eigenschaft die Baire-Eigenschaft. Hat jede ${\displaystyle \Sigma _{n}^{0}}$-Menge die Baire-Eigenschaft, so hat auch jede ${\displaystyle \Pi _{n}^{0}}$-Menge die Baire-Eigenschaft, denn sie ist Komplement einer ${\displaystyle \Sigma _{n}^{0}}$-Menge, und somit Komplement einer Menge, die sich nur um eine magere Menge von einer offenen Menge unterscheidet. Daher unterscheidet sie sich von einer abgeschlossenen Menge – dem Komplement besagter offener Menge – nur um eben jene magere Menge und hat somit ebenfalls die Baire-Eigenschaft. Es folgte, dass jede Borel-Menge die Baire-Eigenschaft hat, analog kann man folgern, dass die Mengen mit der Baire-Eigenschaft eine σ-Algebra bilden.

Für die projektive Hierarchie gilt dies nicht. Die Existenz projektiver Mengen, die nicht die Baire-Eigenschaft haben, ist unabhängig vom Axiomensystem ZFC. Die Nicht-Existenz solcher Mengen folgt etwa aus dem Axiom der projektiven Determiniertheit, welches aus der Existenz von Woodin-Kardinalzahlen folgt.[2] Die Existenz einer projektiven Menge (${\displaystyle \Delta _{2}^{1}}$) ohne die Baire-Eigenschaft folgt dagegen etwa aus dem auf Kurt Gödel zurückgehenden Konstruierbarkeitsaxiom.[3] Analytische und koanalytische Mengen haben dagegen in ZFC die Baire-Eigenschaft, während sich dies für ${\displaystyle \Delta _{2}^{1}}$-Mengen schon nicht mehr zeigen lässt.[1]

Die Existenz e​iner Menge o​hne die Baire-Eigenschaft f​olgt bereits a​us dem Auswahlaxiom[1], n​icht jedoch a​us ZF o​hne das Auswahlaxiom[4].

Einzelnachweise

1. Descriptive Set Theory (PDF; 643 kB), lecture notes by David Marker, 2002
2. W. Hugh Woodin, Strong Axioms of Infinity and the search for V (PDF; 160 kB)
3. Haim Judah und Otmar Spinas: Large cardinals and projective sets
4. Haim Judah, Saharon Shelah, Baire property and Axiom of Choice