Borel-Hierarchie

In d​er Mathematik u​nd insbesondere d​er deskriptiven Mengenlehre i​st die Borel-Hierarchie e​ine stufenweise Aufteilung d​er Borelschen σ-Algebra z​u einem topologischen Raum. Sie stellt e​inen konstruktiven Aufbau a​ller Borel-Mengen dar. Ist e​ine Eigenschaft über a​lle Borel-Mengen z​u beweisen, i​st dies o​ft mittels transfiniter Induktion über a​lle Ebenen d​er Borel-Hierarchie möglich.

Schematische Darstellung eines Ausschnitts der Borel-Hierarchie: Pfeile zeigen die Übergänge zwischen den Mengensystemen an, die Pfeile mit weißen Quadraten Teilmengen-Relationen

Definition

Über einem topologischen Raum ${\displaystyle (X,{\mathfrak {T}})}$ (${\displaystyle {\mathfrak {T}}}$ Menge der offenen Mengen) seien folgende Mengensysteme induktiv definiert:

• ${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}:={\mathfrak {T}}}$.
• ${\displaystyle \Pi _{\alpha }^{0}:=\left\{S\subseteq X|X\setminus S\in \Sigma _{\alpha }^{0}\right\}}$ für jede abzählbare Ordinalzahl ${\displaystyle \alpha \geq 1}$.
• ${\displaystyle \Sigma _{\alpha }^{0}:=\textstyle \left\{S\subseteq X|\exists A_{0},A_{1},A_{2},\ldots \in \bigcup _{p<\alpha }\Pi _{p}^{0}:S=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\right\}}$ für jede abzählbare Ordinalzahl ${\displaystyle \alpha >1}$.
• ${\displaystyle \Delta _{\alpha }^{0}:=\Sigma _{\alpha }^{0}\cap \Pi _{\alpha }^{0}}$ für jede abzählbare Ordinalzahl ${\displaystyle \alpha \geq 1}$.[1]

${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}$ bezeichnet also die offenen Mengen, ${\displaystyle \Pi _{\alpha }^{0}}$ die Komplemente von ${\displaystyle \Sigma _{\alpha }^{0}}$-Mengen, ${\displaystyle \Sigma _{\alpha }^{0}}$ bezeichnet die Mengen, die sich als abzählbare Vereinigung der ${\displaystyle \Pi _{p}^{0}}$-Mengen für ${\displaystyle p<\alpha }$ darstellen lassen, und ${\displaystyle \Delta _{\alpha }^{0}}$ die Mengen, die sowohl in ${\displaystyle \Sigma _{\alpha }^{0}}$ als auch in ${\displaystyle \Pi _{\alpha }^{0}}$ liegen.

Abschluss- und Monotonie-Eigenschaften

• Die ${\displaystyle \Sigma _{\alpha }^{0}}$-Mengen sind abgeschlossen unter abzählbarer Vereinigung und endlichem Schnitt.
• Die ${\displaystyle \Pi _{\alpha }^{0}}$-Mengen sind abgeschlossen unter abzählbarem Schnitt und endlicher Vereinigung.
• Die ${\displaystyle \Delta _{\alpha }^{0}}$-Mengen sind abgeschlossen unter endlichem Schnitt, endlicher Vereinigung und Komplementbildung.
• Die ${\displaystyle \Sigma _{\alpha }^{0}}$-Mengen (ebenso wie auch die ${\displaystyle \Pi _{\alpha }^{0}}$-Mengen und die ${\displaystyle \Delta _{\alpha }^{0}}$-Mengen) sind abgeschlossen unter stetigen Urbildern, das heißt:

Für eine stetige Funktion ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ zwischen topologischen Räumen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ ist ${\displaystyle f^{-1}(A)}$ wiederum eine ${\displaystyle \Sigma _{\alpha }^{0}}$-Menge (${\displaystyle \Pi _{\alpha }^{0}}$-Menge, ${\displaystyle \Delta _{\alpha }^{0}}$-Menge), falls ${\displaystyle A\subseteq Y}$ eine ${\displaystyle \Sigma _{\alpha }^{0}}$-Menge (${\displaystyle \Pi _{\alpha }^{0}}$-Menge, ${\displaystyle \Delta _{\alpha }^{0}}$-Menge) ist.

• ${\displaystyle \Sigma _{\alpha }^{0}\subseteq \Delta _{\alpha +1}^{0}\supseteq \Pi _{\alpha }^{0}}$ für alle abzählbaren Ordinalzahlen ${\displaystyle \alpha }$.

In überabzählbaren polnischen Räumen, welche stets die Kardinalität ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ haben, sind diese Inklusionen immer strikt, während in abzählbaren polnischen Räumen ${\displaystyle \Sigma _{2}^{0}}$ bereits alle Teilmengen des Raumes enthält.

Bezug zur Borelschen σ-Algebra

Die Vereinigung a​ller Mengensysteme d​er Borel-Hierarchie bildet g​enau die Borelsche σ-Algebra, d. i. d​ie kleinste σ-Algebra, d​ie alle offenen Mengen d​es topologischen Raumes enthält.

Dass jede Menge in der Borelhierarchie in der Borelschen σ-Algebra enthalten sein muss, folgt unmittelbar aus den Abschlusseigenschaften einer σ-Algebra: Gäbe es Mengen in der Borel-Hierarchie, die nicht in der Borelschen σ-Algebra enthalten sind, so gäbe es eine kleinste Ordinalzahl ${\displaystyle n}$, sodass ${\displaystyle \Sigma _{n}^{0}}$ eine solche enthält (denn die Ordinalzahlen sind wohlgeordnet), was äquivalent dazu ist, dass ${\displaystyle \Pi _{n}^{0}}$ eine solche enthält, da σ-Algebren abgeschlossen unter Komplementbildung sind. Dieses Element ist jedoch Vereinigung abzählbar vieler Elemente von ${\displaystyle \textstyle \bigcup _{m<n}\Pi _{m}^{0}}$, welche alle Borel-Mengen sind. Somit müsste das Element ebenfalls in der σ-Algebra enthalten sein, da σ-Algebren abgeschlossen bzgl. abzählbarer Vereinigung sind.

Umgekehrt sind alle offenen Mengen in der Borel-Hierarchie enthalten und die Mengen der Borel-Hierarchie sind abgeschlossen unter Komplementbildung und abzählbarer Vereinigung: Ersteres folgt unmittelbar aus der Definition der ${\displaystyle \Pi _{n}^{0}}$ als Komplemente, zweiteres lässt sich wie folgt zeigen: Seien abzählbar viele in der Borel-Hierarchie auftretende Mengen ${\displaystyle S_{0},S_{1},S_{2},\ldots }$ gegeben. Für jedes ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ existiert eine Ordinalzahl ${\displaystyle \alpha _{i}}$, sodass ${\displaystyle S_{i}\in \Sigma _{\alpha _{i}}^{0}}$, schließlich treten die Mengen in der Hierarchie auf. Für das Supremum ${\displaystyle {\hat {\alpha }}:=\sup _{i\in \mathbb {N} }\alpha _{i}}$ gilt dann ${\displaystyle \textstyle \bigcup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\in \Sigma _{\hat {\alpha }}^{0}}$, und das Supremum einer Menge von Ordinalzahlen ist ihre Vereinigung, somit ist ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$ abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen und somit wiederum eine abzählbare Ordinalzahl. Nun wird auch deutlich, wieso gerade abzählbare Ordinalzahlen gewählt worden sind.

Bezug zur projektiven Hierarchie

Über polnischen Räumen w​ird ausgehend v​on der Borel-Hierarchie d​ie projektive Hierarchie definiert, welche a​uf den analytischen Mengen, d​en Projektionen v​on Borel-Mengen, aufbaut. Nach Suslins Theorem s​ind die Borel-Mengen i​n einem polnischen Raum g​enau die Mengen, d​ie analytisch s​ind und d​eren Komplement ebenfalls analytisch ist.

Duale Definition über abgeschlossene Mengen

Die Borel-Hierarchie lässt s​ich ebenfalls ausgehend v​on den abgeschlossenen Mengen definieren:

• ${\displaystyle \Pi _{1}^{0}}$ sei die Menge aller abgeschlossenen Mengen.
• ${\displaystyle \Sigma _{\alpha }^{0}:=\left\{S\subseteq X|X\setminus S\in \Pi _{\alpha }^{0}\right\}}$ für jede abzählbare Ordinalzahl ${\displaystyle \alpha \geq 1}$.
• ${\displaystyle \textstyle \Pi _{\alpha }^{0}:=\left\{S\subseteq X|\exists A_{0},A_{1},A_{2},\ldots \in \bigcup _{p<\alpha }\Sigma _{\alpha }^{0}:S=\bigcap _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\right\}}$ für jede abzählbare Ordinalzahl ${\displaystyle \alpha >1}$.

Die ${\displaystyle \Pi _{\alpha }^{0}}$-Mengen werden also als abzählbarer Schnitt von ${\displaystyle \Sigma _{p}^{0}}$-Mengen für ${\displaystyle p<\alpha }$ definiert.

Nomenklatur

Felix Hausdorff hat folgende Bezeichnungen für die Stufen der Hierarchie zu endlichen Ordinalzahlen eingeführt: ${\displaystyle F_{\sigma }:=\Sigma _{2}^{0}}$, ${\displaystyle G_{\delta }:=\Pi _{2}^{0}}$, ${\displaystyle F_{\sigma \delta }:=\Pi _{3}^{0}}$, ${\displaystyle G_{\delta \sigma }:=\Sigma _{3}^{0}}$, ${\displaystyle F_{\sigma \delta \sigma }:=\Sigma _{4}^{0}}$, ${\displaystyle G_{\delta \sigma \delta }:=\Pi _{4}^{0}}$ etc., siehe auch G_δ- und F_σ-Mengen. Die einheitliche Notation ${\displaystyle \Sigma _{\alpha }^{0}}$, ${\displaystyle \Pi _{\alpha }^{0}}$, ${\displaystyle \Delta _{\alpha }^{0}}$, die auch die Analogie zur arithmetischen Hierarchie in der Rekursionstheorie andeutet, wurde von John Addison 1959 eingeführt.[2]

Einzelnachweise

1. Descriptive Set Theory (PDF; 643 kB), lecture notes by David Marker, 2002
2. Addison, John W.: Separation principles in the hierarchy of classical and effective descriptive set theory, Fundamenta Mathematicae XLVI, S. 123–135, 1959. pdf.