Asymptotische Folge

In d​er Analysis i​st eine asymptotische Folge e​in Grundbaustein e​iner asymptotischen Analyse. Die asymptotische Folge definiert d​en Ansatzraum e​iner asymptotischen Entwicklung u​nd bestimmt d​amit die möglichen Ergebnisse d​er Analyse.

Definition

Eine endliche oder unendliche Folge ${\displaystyle (\phi _{n})}$ von Funktionen auf dem Gebiet ${\displaystyle \Omega }$ heißt asymptotisch für ${\displaystyle x\to x_{0}}$, wenn

${\displaystyle \phi _{n+1}(x)={\hbox{o}}(\phi _{n}(x)),\;x\to x_{0}}$,

mit der Landau-Notation. Bei unendlichen Folgen spricht man von einer gleichmäßigen asymptotischen Folge in n, falls ${\displaystyle \phi _{n+1}={\hbox{o}}(\phi _{n})}$ gleichmäßig in n gilt, beziehungsweise von einer gleichmäßigen asymptotischen Folge in den Parametern, falls die Folge von einem Parameter ${\displaystyle \epsilon }$ abhängt und ${\displaystyle \phi _{n+1}={\hbox{o}}(\phi _{n})}$ gleichmäßig in den Parametern gilt.

Beispiele

• Die Folge der reellen Funktionen ${\displaystyle \phi _{n}=x^{n}}$ für ${\displaystyle x\to 0}$.
• Die Folge der reellen Funktionen ${\displaystyle \phi _{n}=x^{-\lambda _{n}}}$ mit ${\displaystyle \lambda _{n+1}>\lambda _{n}}$ für ${\displaystyle x\to \infty }$.

Eigenschaften

Eine Teilfolge e​iner asymptotischen Folge i​st ebenfalls asymptotisch, ebenso liefert d​as Potenzieren d​er kompletten Folge m​it einer positiven Zahl wieder e​ine asymptotische Folge.

Literatur

• Arthur Erdélyi: Asymptotic Expansions. Dover Publ., New York 1987. ISBN 0-486-60318-0 (Nachdr. d. Ausg. New York 1956)