Assoziator (Mathematik)

In d​er abstrakten Algebra w​ird der Ausdruck Assoziator i​n unterschiedlicher Weise a​ls ein Maß für d​ie Abweichung e​iner algebraischen Struktur bzw. e​iner dort definierten zweistelligen Verknüpfung v​om Assoziativgesetz verwendet.

Ringtheorie

In einem nichtassoziativen Ring oder Algebra ${\displaystyle R}$ ist der Assoziator die multilineare Abbildung

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ,\cdot ]:R\times R\times R\to R:[x,y,z]=(x\circ y)\circ z-x\circ (y\circ z);\,}$

wobei auch die Schreibweisen ${\displaystyle (x,y,z)}$ oder ${\displaystyle A(x,y,z)}$ gebräuchlich sind. Für einen (assoziativen) Ring ist er immer gleich Null.

Für d​en Assoziator g​ilt die Identität

${\displaystyle w[x,y,z]+[w,x,y]z=[wx,y,z]-[w,xy,z]+[w,x,yz].\,}$

Er alterniert genau dann, wenn ${\displaystyle R}$ alternativ ist.

Er ist symmetrisch in seinen am weitesten rechts stehenden Argumenten, wenn ${\displaystyle R}$ eine Prä-Lie-Algebra ist.

Quasigruppentheorie

Auch d​er Assoziator i​n Quasigruppen m​isst die Abweichung d​er dort definierten Verknüpfung v​om Assoziativgesetz, s​eine Definition unterscheidet s​ich aber ansonsten grundlegend v​on der i​n der Ringtheorie.

Eine Quasigruppe Q ist eine Menge mit der zweistelligen Verknüpfung ${\displaystyle \cdot :Q\times Q\to Q}$, für die ${\displaystyle \forall a,b\in Q}$ die Gleichungen ${\displaystyle a\cdot x=b}$ und ${\displaystyle y\cdot a=b}$ die eindeutigen Lösungen ${\displaystyle x,y\in Q}$ haben. In einer Quasigruppe Q ist der Assoziator durch

${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=(a\cdot (b\cdot c))\cdot (a,b,c)\;\forall a,b,c\in Q}$

definiert.

Siehe auch

• Kommutator

Literatur

• Richard D. Schafer [1966]: An Introduction to Nonassociative Algebras. Dover, 1995, ISBN 0-486-68813-5.