Argument von Frattini

Das Argument v​on Frattini, k​urz das Frattini-Argument, i​st eine n​ach dem italienischen Mathematiker Giovanni Frattini benannte Schlussweise a​us dem mathematischen Teilgebiet d​er Gruppentheorie. Es ermöglicht, e​ine endliche Gruppe u​nter gewissen Umständen a​ls Komplexprodukt zweier Untergruppen schreiben z​u können.

Definitionen

Wir verwenden für die Konjugation die Potenzschreibweise, das heißt, sind ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ Elemente einer Gruppe ${\displaystyle G}$, so schreiben wir ${\displaystyle x^{y}:=y^{-1}xy}$ und ${\displaystyle M^{y}:=\{y^{-1}xy|\,x\in M\}}$ für eine Teilmenge ${\displaystyle M}$. Normalteiler sind bekanntlich genau diejenigen Untergruppen ${\displaystyle N}$ für die ${\displaystyle N^{y}=N}$ für alle ${\displaystyle y\in G}$ gilt und ${\displaystyle N_{G}(M):=\{y\in G|\,M^{y}=M\}}$ bezeichnet den Normalisator von ${\displaystyle M}$ in ${\displaystyle G}$. Für eine Primzahl ${\displaystyle p}$ ist eine p-Sylowgruppe eine p-Untergruppe maximaler Ordnung.

Das Frattini-Argument

Ist ${\displaystyle N}$ ein Normalteiler der Gruppe ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle P}$ eine p-Sylowgruppe von ${\displaystyle N}$, so gilt ${\displaystyle G=N_{G}(P)\cdot N}$.[1][2]

Ist nämlich ${\displaystyle x\in G}$, so ist ${\displaystyle P^{x}\subset N^{x}=N}$, also ${\displaystyle P^{x}}$ ebenfalls p-Sylowgruppe in ${\displaystyle N}$. Die Sylow-Sätze für ${\displaystyle N}$ ergeben, dass ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle P^{x}}$ in ${\displaystyle N}$ konjugiert sind, das heißt, es gibt ein ${\displaystyle y\in N}$ mit ${\displaystyle P^{y}=P^{x}}$. Daraus folgt ${\displaystyle P^{xy^{-1}}=P}$, also ${\displaystyle xy^{-1}\in N_{G}(P)}$ und damit ${\displaystyle x\in N_{G}(P)\cdot y\subset N_{G}(P)\cdot N}$. Da ${\displaystyle x\in G}$ beliebig war, folgt die Behauptung.

Weitere Definitionen

Eine eng mit obigem Frattini-Argument zusammenhängende Schlussweise existiert auch für die Operation einer Gruppe G auf einer Menge Ω. Eine Operation heißt transitiv, wenn es zu je zwei Elementen ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \Omega }$ ein ${\displaystyle x\in G}$ gibt mit ${\displaystyle \omega _{1}^{x}=\omega _{2}}$. Für ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ sei ${\displaystyle G_{\omega }:=\{x\in G|\,\omega ^{x}=\omega \}}$ die sogenannte Stabilisatorgruppe in ${\displaystyle \omega }$. Ferner beachte, dass mit ${\displaystyle G}$ auch jede ihrer Untergruppen auf ${\displaystyle \Omega }$ operiert. Mit diesen Begriffen gilt folgender, ebenfalls als Frattini-Argument bekannter Sachverhalt:

Das Frattini-Argument für Operationen

Die Gruppe ${\displaystyle G}$ operiere auf ${\displaystyle \Omega }$, ${\displaystyle N}$ sei eine Untergruppe von ${\displaystyle G}$ und die auf ${\displaystyle N}$ eingeschränkte Operation auf ${\displaystyle \Omega }$ sei transitiv. Dann gilt ${\displaystyle G=G_{\omega }\cdot N}$ für jedes ${\displaystyle \omega \in \Omega }$.[3]

Der Beweis dieser Aussage ist eine elementare Variante der oben vorgestellten Schlussweise. Ist nämlich ${\displaystyle x\in G}$ und ${\displaystyle \omega \in \Omega }$, so ist ${\displaystyle \omega ^{x}\in \Omega }$ und wegen der vorausgesetzten Transitivität von ${\displaystyle N}$ gibt es ein ${\displaystyle y\in N}$ mit ${\displaystyle \omega ^{y}=\omega ^{x}}$, das heißt ${\displaystyle \omega ^{xy^{-1}}=\omega }$, also ${\displaystyle xy^{-1}\in G_{\omega }}$ und schließlich ${\displaystyle x\in G_{\omega }\cdot y\subset G_{\omega }\cdot N}$. Da ${\displaystyle x\in G}$ und ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ beliebig waren, folgt die Behauptung.

Man kann das Frattini-Argument für Normalteiler auf das Frattini-Argument für Operationen zurückführen. Ist ${\displaystyle \Omega }$ die Menge der p-Sylowgruppen von ${\displaystyle N}$, so operiert ${\displaystyle G}$ mittels Konjugation auf ${\displaystyle \Omega }$ und die auf ${\displaystyle N}$ eingeschränkte Operation ist nach den Sylow-Sätzen transitiv. Für jedes ${\displaystyle P\in \Omega }$ ist ${\displaystyle N_{G}(P)}$ die Stabilisatorgruppe zu ${\displaystyle P}$. Das Frattini-Argument für Operationen ergibt also ${\displaystyle G=N_{G}(P)\cdot N}$.

Anwendungen

• Die erste auf Frattini selbst zurückgehende Anwendung besteht in dem Nachweis, dass die heute so genannte Frattinigruppe einer endlichen Gruppe nilpotent ist.[4]
• Ist ${\displaystyle P}$ eine p-Sylowgruppe einer endlichen Gruppe ${\displaystyle G}$, so ist ${\displaystyle N_{G}(N_{G}(P))=N_{G}(P)}$. Dazu wende man das Frattini-Argument auf die Gruppe ${\displaystyle N_{G}(N_{G}(P))}$, die ${\displaystyle N_{G}(P)}$ als Normalteiler enthält, an.

Einzelnachweise

1. H. Kurzweil, B. Stellmacher: Theorie der endlichen Gruppen, Springer-Verlag (1998), ISBN 3-540-60331-X, Abschnitt 3.2.7
2. Derek J. S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Abschnitt 5.2.14
3. H. Kurzweil, B. Stellmacher: Theorie der endlichen Gruppen, Springer-Verlag (1998), ISBN 3-540-60331-X, Abschnitt 3.1.4
4. G. Frattini: Intorno alla generazione dei gruppi di operazioni, Rom. Acc. L. Rend. (4) I. 281–285, 455–457, 1885.