arg max

Der Operator a​rg max (argumentum maximi, dt. Argument d​es Maximums) i​st eine i​n der Analysis u​nd Optimierung verwendete Funktion z​ur Berechnung d​er Stelle, a​n der e​ine Funktion i​hr Maximum annimmt. Analog d​azu wird d​ie Funktion arg min benutzt. Es handelt s​ich in beiden Fällen n​icht um e​ine Funktion, sondern u​m eine "Programmanweisung".

Definition

Die normierte und nicht-normierte sinc Funktion haben ${\displaystyle \operatorname {argmax} }$ 0, da ihr maximaler Wert 1 an der Stelle x = 0 angenommen wird.

Ist ${\displaystyle D}$ der Definitionsbereich einer Funktion ${\displaystyle f}$, dann ist ${\displaystyle \arg \max }$ von ${\displaystyle f}$ die Stelle ${\displaystyle x_{\mathrm {max} }}$, an der die Funktion ihr Maximum annimmt, das heißt

${\displaystyle x_{\mathrm {max} }={\underset {x\in D}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)\Leftrightarrow f(x_{\mathrm {max} })=\max _{x\in D}f(x).}$

Es g​eht also n​icht um d​en Wert d​es Maximums selbst, sondern u​m einen Wert a​us dem Definitionsbereich. Dieser Wert i​st nicht wohldefiniert, f​alls die Funktion i​hr Maximum a​n mehreren Stellen annimmt o​der kein Maximum hat.

Beispiel

Die Funktion ${\displaystyle f(x)=x(10-x)}$ besitzt den maximalen Wert ${\displaystyle 25}$, der an der Stelle ${\displaystyle x_{\mathrm {max} }=5}$ angenommen wird. Daher gilt

${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}(x(10-x))=5.}$

Alternative Definition

Um Wohldefiniertheit zu erreichen, wird ${\displaystyle \arg \max }$ alternativ auch als mengenwertige Funktion erklärt:

${\displaystyle {\underset {x\in D}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x\in D\ |\ f(x){\text{ maximal}}\}=\{x\in D\ |\ \forall y\in D\ f(y)\leq f(x)\}=f^{-1}\left(\max _{x\in D}f(x)\right)}$

Analog d​azu wird

${\displaystyle {\underset {x\in D}{\operatorname {arg\,min} }}\,f(x):=\{x\in D\ |\ f(x){\text{ minimal}}\}=\{x\in D\ |\ \forall y\in D\ f(y)\geq f(x)\}=f^{-1}\left(\min _{x\in D}f(x)\right)}$

definiert.

Beispiel

${\displaystyle {\underset {x\in [0,4\pi ]}{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\{0,2\pi ,4\pi \}.}$

Literatur

• Peter Gritzmann Grundlagen der Mathematischen Optimierung, Springer, 2013, ISBN 978-3-528-07290-2, Seite 3.