Approximationssatz von Dixmier

Der Approximationssatz v​on Dixmier, benannt n​ach Jacques Dixmier, i​st ein Satz a​us der mathematischen Theorie d​er Von-Neumann-Algebren. Er besagt, d​ass man mittels Konvexkombinationen d​er unitär Konjugierten e​ines Elementes e​iner Von-Neumann-Algebra e​in Element d​es Zentrums approximieren kann.

Formulierung des Satzes

Es seien ${\displaystyle U}$ die Gruppe der unitären Elemente und ${\displaystyle Z}$ das Zentrum einer Von-Neumann-Algebra ${\displaystyle A}$ . Dann gilt für jedes Element ${\displaystyle a\in A}$

${\displaystyle {\overline {\mathrm {conv} (\{uau^{*}|\,u\in U\})}}\cap Z\not =\emptyset }$ .[1][2]

Dabei bezeichnet ${\displaystyle \mathrm {conv} }$ die Bildung der konvexen Hülle und der Querstrich den Normabschluss.

Zusatz: Ist ${\displaystyle A}$ eine endliche Von-Neumann-Algebra, so ist obiger Durchschnitt einelementig. Er besteht aus dem Bild der Spur von ${\displaystyle a}$ .[3]

Anwendungen

• Die Tatsache, dass für endliche Von-Neumann-Algebren der Durchschnitt des Normabschlusses der konvexen Hülle der Elemente ${\displaystyle uau^{*}}$ mit dem Zentrum einelementig ist, kann verwendet werden, die Existenz der Spur zu zeigen. Jedes Element der Von-Neumann-Algebra wird auf das eindeutig bestimmte Element dieses Durchschnitts abgebildet, das definiert die Spur. Dieses Vorgehen ist im angegebenen Lehrbuch von Kadison und Ringrose ausgeführt.
• Mit Hilfe des Approximationssatzes von Dixmier kann man zeigen, dass für eine Von-Neumann-Algebra ${\displaystyle A}$ mit Zentrum ${\displaystyle Z}$ die Abbildung

${\displaystyle M\mapsto Z\cap M}$

eine Bijektion von der Menge aller maximalen, zweiseitigen Ideale von ${\displaystyle A}$ auf die Menge der maximalen Ideale des Zentrums ist.[4]

Einzelnachweise

1. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 8.3.5
2. Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7, Kapitel III.5.1, Theorem 1
3. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 8.3.6
4. Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7, Kapitel III.5.2, Korollar 1