Additives Modell

In d​er Statistik i​st ein additives Modell (AM) e​in nichtparametrisches Regressionsmodell. Es w​urde durch Jerome H. Friedman u​nd Werner Stuetzle (1981)[1] vorgeschlagen. Das additive Modell verwendet e​inen eindimensionalen Glätter, u​m eine eingeschränkte Klasse v​on nichtparametrischen Regressionsmodellen z​u bilden. Daher i​st das Modell weniger d​urch den Fluch d​er Dimensionalität betroffen a​ls beispielsweise e​in p-dimensionaler Glätter. Das AM i​st flexibler a​ls gewöhnliche lineare Regressionsmodelle. Probleme, d​ie beim additiven Modell auftreten können, s​ind Überanpassung u​nd Multikollinearität.

Das Standardmodell der additiven Regression

Gegeben seien die Beobachtungen ${\displaystyle (y_{i},x_{i1},x_{i2},\ldots ,x_{ik})\quad ,i=1,\ldots ,n}$ einer stetigen Antwortvariablen ${\displaystyle y}$ und erklärenden Variablen ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k}}$, deren Effekte auf die Antwortvariable durch einen linearen Prädiktor modelliert werden können. Zusätzlichen liegen die Beobachtungen ${\displaystyle (z_{i1},z_{i2},\ldots ,z_{iq})\quad ,i=1,\ldots ,n}$ einer stetigen erklärenden Variablen vor, deren Effekte nichtparametrisch analysiert und modelliert werden. Das Standardmodell der additiven Regression ist – falls keine Interaktionseffekte zwischen den erklärenden Variablen enthalten sind – gegeben durch:[2]

${\displaystyle y_{i}=f_{1}(z_{i1})+\ldots +f_{q}(z_{iq})+\beta _{0}+x_{i1}\beta _{1}+x_{i2}\beta _{2}+\dotsc +x_{ik}\beta _{k}+\varepsilon _{i}=f_{1}(z_{i1})+\ldots +f_{q}(z_{iq})+\eta _{i}^{lin.}+\varepsilon _{i}=\eta _{i}^{add.}+\varepsilon _{i}}$,

wobei für die linearen Prädiktoren ${\displaystyle \eta _{i}^{lin.}=\beta _{0}+x_{i1}\beta _{1}+x_{i2}\beta _{2}+\dotsc +x_{ik}\beta _{k}}$ und ${\displaystyle \eta _{i}^{add.}=f_{1}(z_{i1})+\ldots +f_{q}(z_{iq})+\eta _{i}^{lin.}}$ gilt.

Die Funktionen ${\displaystyle f_{1}(z_{1}),\ldots ,f_{q}(z_{q})}$ stellen die nichtlinearen Glättungseffekte der erklärenden Variablen dar und werden mittels nichtparametrischer Verfahren modelliert und geschätzt. Die gleichen Annahmen bzgl. der Störgrößen wie beim klassischen linearen Modell werden getroffen (siehe Lineare Einfachregression#Annahmen über die Störgrößen). Bei additiven Modellen tritt das Identifikationsproblem auf.[3]

Siehe auch

• Verallgemeinerte additive Modelle für Lage-, Skalen- und Formparameter
• Streudiagramm-Glätter

Literatur

• Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang: Regression: Modelle, Methoden und Anwendungen. 2. Auflage. Springer Verlag, 2009, ISBN 978-3-642-01836-7.

Einzelnachweise

1. Friedman, J.H. und Stuetzle, W. (1981). Projection Pursuit Regression, Journal of the American Statistical Association 76:817–823. doi:10.1080/01621459.1981.10477729
2. Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang, Brian Marx: Regression: models, methods and applications. Springer Science & Business Media, 2013, ISBN 978-3-642-34332-2, S. 536.
3. Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang, Brian Marx: Regression: models, methods and applications. Springer Science & Business Media, 2013, ISBN 978-3-642-34332-2, S. 536.