Ausgewogene Menge

Eine ausgewogene Menge bezeichnet i​n der Funktionalanalysis e​ine Teilmenge e​ines Vektorraumes, d​ie sich dadurch auszeichnet, d​ass zu j​edem Element d​er Menge a​uch das negative dieses Elementes i​n der Menge enthalten i​st und d​ie gesamte Verbindungsstrecke zwischen diesen beiden Elementen. Bei vielen Autoren finden s​ich auch d​ie Bezeichnungen kreisförmig (engl. circled), scheibenförmig o​der balanciert (engl. balanced).

Verwendung finden ausgewogene Mengen z​um Beispiel b​ei der Definition v​on lokalkonvexen Räumen, w​o Ausgewogenheit e​ine Eigenschaft d​er definierenden Nullumgebungsbasis ist.

Definition

Gegeben sei ein reeller oder komplexer Vektorraum ${\displaystyle V}$. Eine Menge ${\displaystyle T\subset V}$ heißt eine ausgewogene Menge, wenn für alle Skalare ${\displaystyle r}$ mit ${\displaystyle |r|\leq 1}$ und alle ${\displaystyle x\in T}$ immer auch ${\displaystyle rx\in T}$ ist. Für alle ${\displaystyle x\in T}$ liegt die Strecke von ${\displaystyle -x}$ nach ${\displaystyle x}$ also in ${\displaystyle T}$.

Eigenschaften

Ist ${\displaystyle T}$ ausgewogen und nicht leer, so muss ${\displaystyle T}$ den Nullvektor enthalten, denn ist ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle T}$, so ist ${\displaystyle 0=0\cdot x\in T}$.

In einem topologischen Vektorraum enthält jede Umgebung der Null auch eine ausgewogene Nullumgebung. Ist nämlich ${\displaystyle U}$ eine Nullumgebung, so gibt es wegen der Stetigkeit der Skalarmultiplikation ein ${\displaystyle \varepsilon >0}$ und eine Nullumgebung ${\displaystyle V}$, so dass ${\displaystyle rx\in U}$ für alle ${\displaystyle |r|<\varepsilon }$ und alle ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle V}$. Dann ist ${\displaystyle \textstyle \bigcup _{|r|<\varepsilon }rV}$ eine in ${\displaystyle U}$ enthaltene ausgewogene Nullumgebung.

In einem topologischen Vektorraum gibt es also stets eine Nullumgebungsbasis aus ausgewogenen Mengen. Hat man umgekehrt auf einem algebraischen Vektorraum ein System ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ von absorbierenden und ausgewogenen Mengen mit den Eigenschaften

• Für alle ${\displaystyle U\in {\mathcal {U}},r>0}$ gilt ${\displaystyle rU\in {\mathcal {U}}}$,
• ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ enthält mit je zwei Mengen auch deren Durchschnitt,
• Für jedes ${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$ gibt es ein ${\displaystyle V\in {\mathcal {U}}}$ mit ${\displaystyle V+V\subset U}$,
• ${\displaystyle \bigcap {\mathcal {U}}=\{0\}}$,

so wird der Vektorraum mit ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ als Nullumgebungsbasis zu einem topologischen Vektorraum. Die Ausgewogenheit wird benötigt, um die Stetigkeit der skalaren Multiplikation zu zeigen.

Ausgewogene konvexe Mengen n​ennt man a​uch absolutkonvex. Sie spielen i​n der Theorie d​er lokalkonvexen Räume e​ine wichtige Rolle.

Weblinks

• V.I. Sobolev: Balanced Set. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).
• Eric W. Weisstein: Balanced Set. In: MathWorld (englisch).

Literatur

• K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, Lecture Notes in Mathematics 56, 1968
• R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8