Abelsche partielle Summation

In d​er Mathematik i​st die abelsche partielle Summation (nach N. H. Abel) e​ine bestimmte Umformung e​iner Summe v​on Produkten jeweils zweier Zahlen.

Aussage

Es seien ${\displaystyle n}$ eine natürliche Zahl und ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}}$ reelle Zahlen. Dann gilt

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}=A_{n}b_{n}+\sum _{k=1}^{n-1}A_{k}(b_{k}-b_{k+1})}$

mit

${\displaystyle A_{k}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{k}.}$

Die Aussage besitzt e​ine gewisse formale Ähnlichkeit z​ur partiellen Integration, w​enn man d​ie Entsprechung zwischen Summen u​nd Integralen s​owie zwischen Differenzen u​nd Ableitungen berücksichtigt. Dies motiviert d​ie Bezeichnung.

Abelsche Ungleichung

Ist ${\displaystyle (b_{k})}$ eine monoton fallende Folge mit positiven Folgegliedern, d. h. gilt

${\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq b_{3}\geq \ldots \geq b_{n}>0,}$

und sind die Zahlen ${\displaystyle a_{k}}$ beliebig reell (oder komplex), so gilt

${\displaystyle {\bigg |}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}{\bigg |}\leq b_{1}\cdot \max _{k=1,\ldots ,n}|A_{k}|.}$

(Zur Notation „max“ s​iehe größtes u​nd kleinstes Element.)

Diese Aussage f​olgt direkt d​urch Anwendung d​er Dreiecksungleichung a​uf die rechte Seite d​er oben angegebenen Gleichung für d​ie abelsche partielle Summation.

Anwendungsbeispiel

Abel benutzt d​ie Ungleichung i​n seiner Arbeit (siehe Quellen), u​m zu beweisen, d​ass eine Potenzreihe

${\displaystyle a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots ,}$

die für eine bestimmte positive reelle Zahl ${\displaystyle x=x_{0}}$ konvergiert, auch für jede kleinere positive Zahl ${\displaystyle x<x_{0}}$ konvergent ist und auf ${\displaystyle 0<x<x_{0}}$ eine stetige Funktion darstellt. Der wesentliche Schritt dabei ist die Umformung

${\displaystyle a_{m}x^{m}+a_{m+1}x^{m+1}+\ldots ={\Big (}{\frac {x}{x_{0}}}{\Big )}^{m}\cdot a_{m}x_{0}^{m}+{\Big (}{\frac {x}{x_{0}}}{\Big )}^{m+1}\cdot a_{m+1}x_{0}^{m+1}+\ldots ,}$

und da ${\displaystyle (x/x_{0})^{k}}$ eine monoton fallende Folge ist, kann man die Summe auf der rechten Seite nach der abelschen Ungleichung durch

${\displaystyle {\bigg |}{\frac {x}{x_{0}}}{\bigg |}^{m}\cdot \sup _{k\geq m}{\bigg |}\sum _{\nu =m}^{k}a_{\nu }x_{0}^{\nu }\,{\bigg |}}$

nach oben abschätzen, und die beiden Faktoren werden für großes ${\displaystyle m}$ beliebig klein.

Quellen

• H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, 9. Aufl., Stuttgart 1991. ISBN 3-519-22231-0
• Niels Henrik Abel, Untersuchungen über die Reihe

${\displaystyle \textstyle 1+{\frac {m}{1}}\cdot x+{\frac {m\,\cdot \,(m-1)}{1\,\cdot \,2}}\cdot \,x^{2}+{\frac {m\cdot \,(m-1)\,\cdot \,(m-2)}{1\,\cdot \,2\,\cdot \,3}}\cdot \,x^{3}+\ldots }$,

J. Reine Angew. Math. 1 (1826) 311–331

Die abelsche Ungleichung zusammen mit der relevanten Umformung findet sich als Lehrsatz III auf S. 314.

Weblinks

Abelsche Ungleichung