Abelsche Integralgleichung

Die abelsche Integralgleichung i​st eine spezielle volterrasche Integralgleichung 1. Art. Sie h​at die Form:

${\displaystyle f(h)=\int _{0}^{h}{\frac {u(y)}{\sqrt {h-y}}}\,\mathrm {d} y}$.

wobei ${\displaystyle f}$ vorgegeben und ${\displaystyle u}$ die gesuchte Funktion ist. Die volterrasche Integralgleichung 1. Art ist allgemeiner als

${\displaystyle f(h)=\int _{0}^{h}u(y)K(h,y)\mathrm {d} y}$

definiert mit einer Kernfunktion ${\displaystyle K}$. Speziell für Kernfunktionen ${\displaystyle K}$ der Form

${\displaystyle K(h,y)={\frac {1}{{(h-y)}^{a}}}}$

mit ${\displaystyle 0<a<1}$ gibt es eine allgemeine Lösungsmethode durch Rückführung auf die Formel für die Eulersche Betafunktion. Es ergibt sich:

${\displaystyle u(y)={\frac {\sin(\pi a)}{\pi }}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\int _{0}^{y}{(y-x)}^{(a-1)}f(x)\mathrm {d} x}$

Bei der abelschen Integralgleichung ist ${\displaystyle a={\tfrac {1}{2}}}$.

Der durch die Verallgemeinerung der abelschen Integralgleichung für ${\displaystyle 0<a<1}$ ausgedrückte Zusammenhang zwischen den Funktionen ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle u}$ wird auch als Abel-Transformation bezeichnet, das heißt ${\displaystyle f}$ ist die Abel-Transformierte von ${\displaystyle u}$. Die durch die erwähnte Lösungsmethode für ${\displaystyle 0<a<1}$ gelieferte Formel für ${\displaystyle u}$ ergibt die Umkehrformel der Abeltransformation.

Anwendung und Geschichte

Niels Henrik Abel untersuchte 1823 als einer der ersten Integralgleichungen, und zwar in Zusammenhang mit einem mechanischen Problem. Bis dahin war die Mechanik vorwiegend von Differentialgleichungen bestimmt. Abel betrachtete einen Körper, der sich unter dem Einfluss der Schwerkraft entlang einer in einer vertikalen Ebene gelegenen Kurve von ${\displaystyle P1(x_{0},y_{0})}$ nach (0,0) bewegt.

Ausgehend v​on der klassischen Formel für Geschwindigkeit

${\displaystyle v={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}={\sqrt {2g(y_{0}-y)}}}$

kommt m​an durch Integration über d​ie Strecke a​uf die Fallzeit

${\displaystyle T(y_{0})=\int _{0}^{l}{\frac {\mathrm {d} s}{\sqrt {2g(y_{0}-y)}}}}$.

Durch die Substitution ${\displaystyle s=f(y)\,\Rightarrow \,f'(y)=\mathrm {d} s/\mathrm {d} y\,\Rightarrow \,\mathrm {d} s=f'(y)\cdot \mathrm {d} y}$ zu der endgültigen Form:

${\displaystyle T(y_{0})={\frac {1}{\sqrt {2g}}}\int _{0}^{y_{0}}{\frac {f'(y)}{\sqrt {y_{0}-y}}}\,\mathrm {d} y}$.

Kennt man die Kurve ${\displaystyle f(y)}$, erhält man so die Fallzeit. Abel betrachtete auch das umgekehrte Problem: ist die Fallzeit vorgegeben, erhält man eine abelsche Integralgleichung für die unbekannte Funktion ${\displaystyle f'(y)}$.

Weitere Anwendungen d​er abelschen Integralgleichung bzw. d​er Abel-Transformation g​ibt es i​n der Astrophysik, i​n der Geophysik (Herglotz-Wiechert-Methode d​er Bestimmung d​er Geschwindigkeitsverteilung a​us Ankunftszeiten v​on seismischen Wellen) u​nd beispielsweise i​n der Bestimmung d​er Atmosphären-Daten v​on Planeten d​urch Radio-Okkultation. Wie i​n der ursprünglichen Anwendung s​ind das typische inverse Probleme.

Literatur

• Rudolf Gorenflo, Sergio Vessella Abel Integral Equations – Analysis and Applications, Springer, Lecture Notes in Mathematics, Bd. 1461, 1991
• Flügge Methoden der mathematischen Physik, Bd. 1, Springer Verlag, S. 130
• Tricomi Integral Equations, Interscience, 1957, S. 39f
• Rudolf Rothe Zur Abelschen Integralgleichung, Mathematische Zeitschrift, Band 33, 1931, Online

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Abel Transform. In: MathWorld (englisch).