Abel-Plana-Summenformel

Die Abel-Plana-Summenformel i​st eine Summenformel, d​ie unabhängig voneinander v​on Niels Henrik Abel (1823) u​nd Giovanni Antonio Amedeo Plana (1820) entdeckt wurde. Sie besagt, dass

${\displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }f(n)=\int \limits _{0}^{\infty }f(t)\,\mathrm {d} t+{\frac {1}{2}}\,f(0)+i\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{\mathrm {e} ^{2\pi t}-1}}\,\mathrm {d} t}$

ist.[1] Sie gilt für Funktionen f, die in der Halbebene ${\displaystyle \mathrm {Re} \,z>0}$ holomorph sind und deren Betrag in geeigneter Weise wächst; z. B. genügt die Annahme

${\displaystyle |f(z)|<{\frac {C}{|z|^{1+\epsilon }}}}$

in diesem Gebiet für geeignete Konstanten C, ε > 0. Frank W. J. Olver h​at sogar nachgewiesen, d​ass die Formel u​nter viel schwächeren Bedingungen gültig ist.[2]

Als Beispiel k​ann man d​ie Hurwitzsche Zeta-Funktion einsetzen:

${\displaystyle \zeta (s,z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+z)^{s}}}={\frac {z^{1-s}}{s-1}}+{\frac {1}{2z^{s}}}+2\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin \!\left(s\arctan {\frac {t}{z}}\right)}{(\mathrm {e} ^{2\pi t}-1){(z^{2}+t^{2})}^{\frac {s}{2}}}}\,\mathrm {d} t.}$

Für alternierende Summen g​ab Abel n​och folgende Variante an:

${\displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}f(n)={\frac {1}{2}}\,f(0)+i\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{2\,\sinh(\pi t)}}\,\mathrm {d} t.}$

Siehe auch

• Euler-MacLaurin-Summenformel

Einzelnachweise

1. Abel, N.H.: Solution de quelques problèmes à l’aide d’intégrales définies. Magazin for Naturvidenskaberne, Argang I, Bind2, Christina, 1823
2. Olver, Frank W. J.: Asymptotics and special functions. Reprint of the 1974 original. AKP Classics. A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1997. ISBN 978-1-56881-069-0