Abbesche Sinusbedingung

Die Abbesche Sinusbedingung (kurz: Sinusbedingung o​der auch seltenerer Abbesche Bedingung) i​st ein Sachverhalt d​er geometrischen Optik u​nd wurde v​on Ernst Karl Abbe formuliert. Sie i​st eine notwendige Bedingung, u​m ein kleines achsnahes u​nd achssenkrechtes Flächenelement f​rei von Bildfehlern abzubilden.

Man betrachtet hierzu Strahlen, die vom Achspunkt des besagten Flächenelements ausgehen. Der Schnittwinkel eines solchen Strahls mit der optischen Achse sei ${\displaystyle \sigma }$ im Objektraum und ${\displaystyle \sigma '}$ im Bildraum. Der Brechungsindex im Objektraum sei ${\displaystyle n}$, im Bildraum ${\displaystyle n'}$. Die Sinusbedingung lautet:

${\displaystyle {\frac {n\sin \sigma }{n'\sin \sigma '}}=\beta '={\text{const.}}}$

Der Quotient auf der linken Seite ist also für alle o. g. Strahlen gleich, und diese Konstante ist der paraxiale Abbildungsmaßstab ${\displaystyle \beta '}$. Hinreichend ist die Sinusbedingung jedoch nicht. Erst wenn zusätzlich der Öffnungsfehler für den Achspunkt des besagten Flächenelements behoben ist, wird es tatsächlich bildfehlerfrei abgebildet.

Bei unendlicher Objektweite sind die o. g. Strahlen objektseitig nicht durch den Schnittwinkel definiert, da sie alle parallel zur optischen Achse verlaufen, sondern durch ihren Abstand ${\displaystyle h}$ von der optischen Achse. Die Sinusbedingung geht dann über in:

${\displaystyle {\frac {h}{\sin \sigma '}}={\text{const.}}=f'}$

mit der bildseitigen Brennweite ${\displaystyle f'}$.

Die Sinusbedingung m​uss bei optischen Systemen, d​ie ein kleines Feld m​it großer Öffnung abbilden, a​uch außerhalb d​es paraxialen Gebietes erfüllt sein. Das g​ilt z. B. für Mikroskop-Objektive. Eine einzelne brechende o​der reflektierende Kugelfläche h​at drei Punktepaare, d​ie die Sinusbedingung erfüllen u​nd ohne Öffnungsfehler abbilden (aplanatische Punktepaare).