6j-Symbol

Das 6j-Symbol v​on Eugene Wigner i​st eine Notation z​ur Kopplung v​on Drehimpulsen i​n der Quantenmechanik. Es spielt e​ine Rolle b​ei der Kopplung v​on drei quantenmechanischen Drehimpulsen.

Definition

Es i​st folgendermaßen a​ls Summe über Produkte v​on vier 3j-Symbolen definiert:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}}$

${\displaystyle =\sum _{m_{1},\dots ,m_{6}}(-1)^{\sum _{k=1}^{6}(j_{k}-m_{k})}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-m_{1}&-m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\\m_{1}&-m_{5}&m_{6}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\\m_{4}&m_{2}&-m_{6}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{3}\\-m_{4}&m_{5}&m_{3}\end{pmatrix}}.}$

Dabei ist zu beachten, dass nicht alle ${\displaystyle m_{i}}$ nichtverschwindende Beiträge leisten (Auswahlregeln der 3j-Symbole, siehe dort).

Symmetrien

Das 6j-Symbol i​st invariant u​nter Vertauschung seiner Spalten:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\j_{4}&j_{6}&j_{5}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{3}&j_{2}&j_{1}\\j_{6}&j_{5}&j_{4}\end{Bmatrix}}=\cdots }$

Es i​st auch invariant u​nter gleichzeitiger Vertauschung v​on übereinanderstehenden Symbolen i​n zwei Spalten:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{3}\\j_{1}&j_{2}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\\j_{4}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\\j_{1}&j_{5}&j_{3}\end{Bmatrix}}.}$

Insgesamt g​ibt es 24 Symmetrien.

Das 6j-Symbol

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}}$

verschwindet außer ${\displaystyle j_{1},j_{2},j_{3}}$ erfüllen die Dreiecksbedingung:

${\displaystyle j_{1}=|j_{2}-j_{3}|,\ldots ,j_{2}+j_{3}}$

Wegen der oben erläuterten Symmetrien müssen auch ${\displaystyle j_{1},j_{5},j_{6}}$, ${\displaystyle j_{4},j_{2},j_{6}}$, ${\displaystyle j_{4},j_{5},j_{3}}$ die Dreiecksbedingung erfüllen. Außerdem muss die Summe aller Elemente dieser Dreiertupel eine ganze Zahl sein.

Spezialfall

Für ${\displaystyle j_{6}=0}$ gilt folgende Formel für das 6j-Symbol:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&0\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{2},j_{4}}\delta _{j_{1},j_{5}}}{\sqrt {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}}}(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}}$

Das trianguläre Delta ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}}$ ist gleich 1 falls ${\displaystyle j_{1},j_{2},j_{3}}$ die Dreiecksbedingung erfüllen und 0 sonst.

Orthogonalitätsrelation

Die 6j-Symbole erfüllen d​ie Orthogonalitätsrelation:

${\displaystyle \sum _{j_{3}}(2j_{3}+1){\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}'\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{6}^{}j_{6}'}}{2j_{6}+1}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\end{Bmatrix}}.}$

Asymptotische Entwicklung

Falls alle ${\displaystyle j_{i}}$ im 6j-Symbol groß sind ist:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}\sim {\frac {1}{\sqrt {12\pi |V|}}}\cos {\left(\sum _{i=1}^{6}J_{i}\theta _{i}+{\frac {\pi }{4}}\right)}.}$

Die Formel wurde von Tullio Regge und G. Ponzano[1] vermutet und wurde von Justin Roberts bewiesen.[2] und nutzt die sich asymptotisch ergebende Tetraeder-Geometrie aus. Dabei ist V das Volumen des Tetraeders, ${\displaystyle J_{i}=j_{i}+{\frac {1}{2}}}$ die Länge der Seite ${\displaystyle i}$ und ${\displaystyle \theta _{i}}$ der Winkel der Seiten, die an die i-te Kante stoßen.

Zusammenhang mit Racah-W-Koeffizienten

Sie s​ind mit d​en Racah-W-Koeffizienten verbunden, d​ie ebenfalls z​ur Kopplung v​on drei Drehimpulsen verwendet werden:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{4}+j_{5}}W(j_{1}j_{2}j_{5}j_{4};j_{3}j_{6}).}$

Die Racah-W-Koeffizienten s​ind Koeffizienten:

${\displaystyle W(j_{1}j_{2}Jj_{3};J_{12}J_{23})\equiv {\frac {\langle (j_{1},(j_{2}j_{3})J_{23})J|((j_{1}j_{2})J_{12},j_{3})J\rangle }{\sqrt {(2J_{12}+1)(2J_{23}+1)}}}.}$

beim Übergang von einer Basis, in der ${\displaystyle j_{1}}$ und ${\displaystyle j_{2}}$ zu ${\displaystyle J_{12}}$ gekoppelt sind und dieses dann mit ${\displaystyle j_{3}}$ zum Gesamtdrehimpuls ${\displaystyle J}$ und einer Basis, in der zuerst ${\displaystyle j_{2}}$ und ${\displaystyle j_{3}}$ zu ${\displaystyle J_{23}}$ gekoppelt sind und dieses dann mit ${\displaystyle j_{3}}$ zu ${\displaystyle J}$:

${\displaystyle |((j_{1}j_{2})J_{12}j_{3})JM\rangle =\sum _{J_{23}}\langle (j_{1},(j_{2}j_{3})J_{23})J|((j_{1}j_{2})J_{12}j_{3})J\rangle \,|(j_{1},(j_{2}j_{3})J_{23})JM\rangle }$

${\displaystyle ={\sqrt {(2J_{12}+1)}}\sum _{J_{23}}{\sqrt {(2J_{23}+1)}}\,W(j_{1}j_{2}Jj_{3};J_{12}J_{23})|(j_{1},(j_{2}j_{3})J_{23})JM\rangle }$

Literatur

• Alan Robert Edmonds: Drehimpulse in der Quantenmechanik, BI Hochschultaschenbücher 1964 (englisches Original Princeton UP 1957)
• A. Messiah: Quantenmechanik, Band 2, De Gruyter 1985, Anhang C

Weblinks

• 6j-Symbol, Mathworld

Einzelnachweise

1. Ponzano, Regge: Semiclassical Limit of Racah Coefficients, in: Spectroscopy and Group Theoretical Methods in Physics, Amsterdam, 1968, S. 1–58
2. J. Roberts: Classical 6j-symbols and the tetrahedron, Geometry and Topology, Band 3, 1998, S. 21–66, Arxiv