Zustandsgleichung von Mie-Grüneisen

Die Mie-Grüneisen-Zustandsgleichung (engl. auch Mie-Gruneisen equation of state), benannt nach Gustav Mie und Eduard Grüneisen, ist eine Zustandsgleichung der Physik, die für hochverdichtete Materie einen speziellen funktionalen Zusammenhang zwischen der Dichte ${\displaystyle \rho }$, dem Druck ${\displaystyle p}$ und der absoluten Temperatur ${\displaystyle T}$ darstellt. Sie wird u. a. zur Berechnung der Schallgeschwindigkeit und von Stoßwellen bei hohen Umgebungsdrücken sowie zur Modellierung von seismologischen Untersuchungen des Erdinneren verwendet.

Die spezielle Annahme von Mie-Grüneisen bezieht sich auf die Temperaturabhängigkeit, die nur in der Form einer "skalierten Temperatur" ${\displaystyle t}$ auftreten darf:

${\displaystyle t(T,\rho )={\frac {T}{TD(\rho )}},}$

wobei der dichte- oder volumen-abhängige "Temperaturparameter" ${\displaystyle TD(\rho )}$ pauschal das Frequenzspektrum der Gitterschwingungen repräsentiert und üblicherweise mehrere Materialparameter enthält.

Spezielle Form der Gleichung

Eine spezielle Form d​er Mie-Grüneisen Zustandsgleichung stellt d​ie Messergebnisse v​on Hochdruckexperimenten a​uf der Basis v​on drei Materialparametern i​m temperaturunabhängigen Teil dar:

${\displaystyle p=p_{0}\cdot \left(1-\Gamma \cdot \eta \right)+{\frac {\rho _{0}\cdot C_{0}^{2}\cdot \eta }{\left(1-s\cdot \eta \right)^{2}}}\cdot \left(1-{\frac {\Gamma \cdot \eta }{2}}\right)+\Gamma \cdot \rho _{0}\cdot \left(e-e_{0}\right)}$

mit

${\displaystyle \eta =1-{\frac {\rho _{0}}{\rho }}}$.

Hierbei bezeichnet

• ${\displaystyle \rho _{0}}$ die Dichte im Normalzustand
• ${\displaystyle C_{0}}$ die Schallgeschwindigkeit im Normalzustand
• ${\displaystyle \Gamma =\Gamma _{0}}$ den dimensionslosen Grüneisenkoeffizienten im Normalzustand
• ${\displaystyle s}$ den linearen Hugoniot-Steigungskoeffizient (engl. linear Hugoniot slope coefficient), eine dimensionslose Materialkonstante
• ${\displaystyle e-e_{0}}$ die spezifische innere Energie, die im Mie-Grüneisen-Fall nur von der skalierten Temperatur ${\displaystyle t}$ (s. o.) abhängen darf.

Beispiele für Parameter der Mie-Grüneisen Zustandsgleichung

Wasser: ${\displaystyle \rho _{0}=1000}$ kg/m³ ; ${\displaystyle C_{0}=1489}$ m/s ; ${\displaystyle s=1{,}79}$ ; ${\displaystyle \Gamma =1{,}65}$

Stahl: ${\displaystyle \rho _{0}=7850}$ kg/m³ ; ${\displaystyle C_{0}=4500}$ m/s ; ${\displaystyle s=1{,}49}$ ; ${\displaystyle \Gamma =2{,}17}$

Kupfer: ${\displaystyle \rho _{0}=8930}$ kg/m³ ; ${\displaystyle C_{0}=3940}$ m/s ; ${\displaystyle s=1{,}48}$ ; ${\displaystyle \Gamma =1{,}96}$

Zusammenhang der Parameter mit anderen thermodynamischen Zustandsgrößen

Die Schallgeschwindigkeit, mit der sich kleine Druck- und Dichteschwankungen in einem Medium fortpflanzen, ist bei reversibler adiabatischer Zustandsänderung (d. h. bei konstanter Entropie ${\displaystyle S}$) gegeben durch:

${\displaystyle c_{S}={\sqrt {\left.{\frac {\partial p}{\partial \rho }}\right|_{S}}}={\sqrt {{\frac {p}{\rho }}\cdot \gamma }}}$

Die Schallgeschwindigkeit i​st eine Zustandsgröße.

Der Adiabatenexponent ${\displaystyle \gamma }$ ergibt sich aus:

${\displaystyle \gamma =-{\frac {V}{p}}\cdot \left.{\frac {\partial p}{\partial V}}\right|_{S}}$

Der Grüneisenkoeffizient i​st definiert durch:

${\displaystyle \Gamma =-{\frac {V}{T}}\cdot \left.{\frac {\partial T}{\partial V}}\right|_{S}={\frac {\beta }{\kappa \cdot \rho \cdot c_{V}}}}$

wobei die Maxwell-Relation ${\displaystyle \left.{\frac {\partial S}{\partial V}}\right|_{T}=\left.{\frac {\partial p}{\partial T}}\right|_{V}}$ und folgende Bezeichnungen verwendet wurden:

Thermische Ausdehnung:

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{V}}\cdot \left.{\frac {\partial V}{\partial T}}\right|_{p}=-{\frac {1}{\rho }}\cdot \left.{\frac {\partial \rho }{\partial T}}\right|_{p}}$

Isotherme Kompressibilität:

${\displaystyle \kappa =-{\frac {1}{V}}\cdot \left.{\frac {\partial V}{\partial p}}\right|_{T}}$

Isochore spezifische Wärmekapazität:

${\displaystyle c_{V}={\frac {T}{\rho \cdot V}}\cdot \left.{\frac {\partial S}{\partial T}}\right|_{V}}$

Literatur

• Debye, P.: Zur Theorie der spezifischen Wärmen. In: Annalen der Physik 39, 789–839 (1912)
• Grüneisen, E.: Theorie des festen Zustandes einatomiger Elemente. In: Annalen der Physik 39, 257–306 (1912)
• Mie, G.: Grundlagen einer Theorie der Materie. In: Annalen der Physik 2, 1–40 (1912)
• G.McQueen, S.P.Marsh, J.W.Taylor, J.N.Fritz, W.J.Carter: "High Velocity Impact Phenomena", (1970), S. 230
• M.A.Zocher et al.: An evaluation of several hardening models using Taylor cylinder impact data. Proc. European Congress on computational Methods in Applied Sciences and Engineering, ECCOMAS, Barcelona, Spain
• W.B.Holzapfel: Equations of state for solids under strong compression. In: Zeitschrift für Kristallographie. 216 (2000) S. 473–488