Zernike-Polynom
Die Zernike-Polynome sind nach Frits Zernike benannte orthogonale Polynome und spielen insbesondere in der Wellenoptik eine wichtige Rolle. Es gibt gerade und ungerade Zernike-Polynome. Die geraden Zernike-Polynome sind definiert durch:
und die ungeraden durch
wobei und nichtnegative ganze Zahlen sind, für die gilt: . ist der azimutale Winkel und ist der normierte radiale Abstand.
Die Radialpolynome sind definiert gemäß
- ,
wenn gerade ist und , wenn ungerade ist.
Häufig werden sie zu normiert.
Eigenschaften
Zernike-Polynome sind ein Produkt eines radiusabhängigen Teils und eines winkelabhängigen Teils :
[Für Puristen sei darauf hingewiesen, daß in der Physik und Optik diese Funktionen zweier Argumente als Polynome bezeichnet werden, aber je nach Anwendung auch nur der Radialanteil, also die sinus-cosinus-förmigen Azimuth-Funktionen als zu trivial angesehen werden, um eine Namenserweiterung wie zum Beispiel auf Zernike-Funktionen zu bewirken.]
Eine Rotation des Koordinatensystems um den Winkel ändert den Wert des Polynoms nicht:
Der radiusabhängige Teil ist ein Polynom über vom Grad , welches keine Potenz kleiner enthält. ist eine gerade (ungerade) Funktion, wenn gerade (ungerade) ist.
Der radiusabhängige Teil stellt einen Spezialfall der Jacobi-Polynome dar.
Die Reihe der radiusabhängigen Polynome beginnt mit
Allgemein ist
Anwendungen
In der Optik werden Zernike-Polynome benutzt um Wellenfronten zu repräsentieren, die wiederum die Abbildungsfehler optischer Systeme beschreiben. Dies findet zum Beispiel in der adaptiven Optik Anwendung.
Seit einigen Jahren ist die Verwendung der Zernike-Polynome auch in der Optometrie und Augenheilkunde üblich. Hier führen Abweichungen der Cornea beziehungsweise der Linse von der idealen Form zu Abbildungsfehlern.
Literatur
- Born and Wolf: Principles of Optics. Oxford: Pergamon, 1970.
Weblinks
- Eric W. Weisstein: Zernike Polynomial. In: MathWorld (englisch).