Woodbury-Matrix-Identität

Die Woodbury-Matrix-Identität, benannt nach Max A. Woodbury,[1][2] besagt, dass die Inverse einer Rang-${\displaystyle k}$-Korrektur einer Matrix ${\displaystyle A}$ als eine Rang-${\displaystyle k}$-Korrektur der Inversen ${\displaystyle A^{-1}}$ ausgedrückt werden kann. Gängig sind auch die Bezeichnungen Sherman-Morrison-Woodbury-Formel oder nur Woodbury-Formel. Doch die Gleichung wurde schon vor Woodburys Bericht erwähnt.[3]

Die Woodbury-Gleichung lautet[4]

${\displaystyle \left(A+UCV\right)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}}$,

wobei ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle C}$ und ${\displaystyle V}$ Matrizen des korrekten Formats bezeichnen. Genauer ist ${\displaystyle A}$ eine ${\displaystyle n\times n}$-Matrix, ${\displaystyle U}$ eine ${\displaystyle n\times k}$-Matrix, ${\displaystyle C}$ eine ${\displaystyle k\times k}$-Matrix und ${\displaystyle V}$ eine ${\displaystyle k\times n}$-Matrix.

Im Spezialfall ${\displaystyle k=1}$ und ${\displaystyle C=1}$, wird die Gleichung auch Sherman-Morrison-Formel genannt. Wenn ${\displaystyle C}$ die Einheitsmatrix ${\displaystyle I}$ ist, wird die Matrix ${\displaystyle I+VA^{-1}U}$ oft Kapazitätsmatrix genannt.[3]

Anwendung

Die Identität ist nützlich in vielen numerischen Berechnungen, in denen ${\displaystyle A^{-1}}$ bereits berechnet ist und ${\displaystyle (A+UCV)^{-1}}$ benötigt wird. Mit der Inversen von ${\displaystyle A}$, ist es nur nötig die Inverse von ${\displaystyle C^{-1}+VA^{-1}U}$ zu berechnen. Wenn ${\displaystyle C}$ eine wesentlich kleinere Dimension hat als ${\displaystyle A}$, ist das viel effizienter als ${\displaystyle A+UCV}$ direkt zu invertieren.

Die Formel w​ird auch i​n der Herleitung z​u speicherplatzeffizienten Darstellungen v​on Quasi-Newton-Verfahren benutzt.[5]

Siehe auch

• Reguläre Matrix

Weblinks

• Some matrix identities
• Eric W. Weisstein: Woodbury formula. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

1. Max A. Woodbury: Inverting modified matrices. In: Memorandum Rept. 42, Statistical Research Group, Princeton University, Princeton NJ 1950, 4pp MR38136
2. Max A. Woodbury: The Stability of Out-Input Matrices. Chicago IL 1949, 5 Seiten, MR32564
3. William W. Hager: Updating the inverse of a matrix. In: SIAM Review. 31, Nr. 2, 1989, S. 221–239. MR 997457 – JSTOR 2030425. doi:10.1137/1031049.
4. Nicholas Higham: Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, 2nd. Auflage, SIAM, 2002, ISBN 978-0-89871-521-7, S. 258, MR 1927606.
5. Byrd Nocedal Schnabel: Representations of quasi-Newton matrices and their use in limited memory methods. In: Mathematical Programming. 63, Nr. 1, 1994, S. 129–156.