Weierstraß-Polynom

Der mathematische Begriff d​es Weierstraß-Polynoms, benannt n​ach Karl Weierstraß, t​ritt in d​er Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher auf. Es handelt s​ich um holomorphe Funktionen bzw. Funktionskeime i​n einem Punkt, d​ie bezüglich e​iner der Variablen e​in normiertes Polynom m​it Koeffizienten a​us dem Ring d​er holomorphen Funktionen i​n den anderen Variablen ist, s​o dass d​ie Koeffizienten i​n diesem Punkt ebenfalls verschwinden.

Definitionen

Es sei ${\displaystyle {}_{n}{\mathcal {O}}}$ der Ring der konvergenten Potenzreihen in ${\displaystyle 0\in \mathbb {C} ^{n}}$. Dieser Ring ist isomorph zum Ring der Funktionskeime holomorpher Funktionen in 0, weshalb diese Begriffsbildung auch für Keime durchgeführt werden kann. Durch die injektive Abbildung

${\displaystyle {}_{n-1}{\mathcal {O}}\rightarrow {}_{n}{\mathcal {O}},\quad f\mapsto {\tilde {f}},\quad {\tilde {f}}(z_{1},\ldots ,z_{n}):=f(z_{1},\ldots ,z_{n-1})}$

fasst man ${\displaystyle {}_{n-1}{\mathcal {O}}}$ als Unterring von ${\displaystyle {}_{n}{\mathcal {O}}}$ auf. Das heißt, ${\displaystyle f\in {}_{n-1}{\mathcal {O}}}$ wird dadurch zu einem Element aus ${\displaystyle {}_{n}{\mathcal {O}}}$, dass man bei einer Auswertung in den Variable ${\displaystyle (z_{1},\ldots ,z_{n})}$ die letzte Variable einfach ignoriert.

Die Variable ${\displaystyle z_{n}}$ ist selbst ein Polynom und daher ein Element aus ${\displaystyle {}_{n}{\mathcal {O}}\setminus {}_{n-1}{\mathcal {O}}}$. Adjungiert man ${\displaystyle z_{n}}$ zum Unterring ${\displaystyle {}_{n-1}{\mathcal {O}}}$, so erhält man den Polynomring ${\displaystyle {}_{n-1}{\mathcal {O}}[z_{n}]}$ mit Koeffizienten aus ${\displaystyle {}_{n-1}{\mathcal {O}}}$, und man hat die Inklusionen

${\displaystyle {}_{n-1}{\mathcal {O}}\subset {}_{n-1}{\mathcal {O}}[z_{n}]\subset {}_{n}{\mathcal {O}}}$.

Jedes Element aus ${\displaystyle f\in {}_{n-1}{\mathcal {O}}[z_{n}]}$ hat eine eindeutige Darstellung

${\displaystyle f(z_{1},\ldots ,z_{n})=a_{m}(z_{1},\ldots ,z_{n-1})\cdot z_{n}^{m}+a_{m-1}(z_{1},\ldots ,z_{n-1})\cdot z_{n}^{m-1}+\ldots +a_{1}(z_{1},\ldots ,z_{n-1})\cdot z_{n}+a_{0}(z_{1},\ldots ,z_{n-1})}$

mit konvergenten Potenzreihen ${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{m-1},a_{m}\in {}_{n-1}{\mathcal {O}}}$.

Ein solches Element heißt Weierstraß-Polynom, falls[1][2]

• ${\displaystyle a_{m}}$ ist die konstante Einsfunktion, das heißt, ${\displaystyle f}$ ist ein normiertes Polynom über ${\displaystyle {}_{n-1}{\mathcal {O}}}$, und
• ${\displaystyle a_{k}(0,\ldots ,0)=0}$ für alle ${\displaystyle k=0,\ldots ,m-1}$.

Beispiele

• Für Funktionen einer Variablen ist ein Weierstraß-Polynom nichts weiter als ein normiertes Monom, also von der Form ${\displaystyle z_{1}^{m}}$.

• Das Polynom ${\displaystyle z_{1}z_{2}\in {}_{1}{\mathcal {O}}[z_{2}]}$ ist kein Weierstraß-Polynom, da es nicht normiert ist.

• Das Polynom ${\displaystyle z_{2}^{3}+\exp(z_{1})z_{2}+z_{1}^{4}\in {}_{1}{\mathcal {O}}[z_{2}]}$ ist ebenfalls kein Weierstraß-Polynom, da der Koeffizient von ${\displaystyle z_{2}}$ nicht in 0 verschwindet.

• Das Polynom ${\displaystyle z_{2}^{3}+\sin(z_{1})z_{2}+z_{1}^{4}\in {}_{1}{\mathcal {O}}[z_{2}]}$ ist ein Weierstraß-Polynom.

Bemerkung

Weierstraß-Polynome spielen eine wichtige Rolle in der Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher, da sie eine Art Division mit Rest erlauben, wie sie im Divisionssatz von Weierstraß vorkommt. Die irreduziblen Elemente im Ring ${\displaystyle {}_{n}{\mathcal {O}}}$ sind im Wesentlichen die im Polynomring ${\displaystyle {}_{n-1}{\mathcal {O}}[z_{n}]}$ irreduziblen Weierstraß-Polynome.[3]

Siehe auch

• Weierstraßscher Vorbereitungssatz

Einzelnachweise

1. Gunning-Rossi: Analytic functions of several complex variables. Prentice-Hall, 1965, Kap. II .B, Definition 1.
2. Jörg Eschmeier: Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher. Springer-Verlag, 2017, ISBN 978-3-662-55541-5, Definition 4.18.
3. Gunning-Rossi: Analytic functions of several complex variables. Prentice-Hall, 1965, Kap. II.B, Theorem 7.