Vollkonjunktion

Als Vollkonjunktion (auch Minterm oder Elementarkonjunktion) bezeichnet man in der Aussagenlogik einen speziellen Konjunktionsterm, d. h. eine Anzahl von Literalen (booleschen Variablen), die alle durch ein logisches und () verknüpft sind. Dabei müssen alle Variablen der betrachteten -stelligen booleschen Funktion im Konjunktionsterm vorkommen. Vollkonjunktionen lassen sich zu einer disjunktiven Normalform zusammensetzen, beispielsweise beim Verfahren nach Quine und McCluskey.

Beispiele

Beispiele für 3-stellige boolesche Funktionen

Standardnummerierung der Vollkonjunktionen

Vollkonjunktionen lassen sich auf natürliche Weise nummerieren. Man denkt sich dabei die Variablen in einer Reihe notiert, z. B. . Kommt für eine konkrete Vollkonjunktion das jeweilige Literal negiert vor, so ersetzt man es durch eine 0, sonst durch eine 1. Es entsteht eine Binärzahl, die man dezimal interpretieren kann. Diese Dezimalzahl bezeichnet man als die Nummer oder den Index des Minterms. Will man diesen Minterm über seinen Index bezeichnen, so schreibt man . Analog geht dies mit den Maxtermen bei Disjunktionen.

Vergleich Minterm / Maxterm

In folgender Tabelle i​st der Unterschied zwischen d​er Maxterm- u​nd Mintermdarstellung ersichtlich:

IndexMintermMaxterm
0000
1001
2010
3011
4100
5101
6110
7111

Realisierung v​on Decoder-Schaltungen m​it Mintermen / Maxtermen:

MintermMaxterm
0NOR-GatterAND-Gatter
1OR-GatterNAND-Gatter

Minterme

  • Ein einziger Minterm:
    • Für genau eine Belegung Funktionswert 1
    • Minimalität:
      • maximale Anzahl an Nullen
      • minimale Anzahl an Einsen

(abgesehen v​on trivialer Nullfunktion)

Maxterme

  • Ein einziger Maxterm:
    • Für genau eine Belegung Funktionswert 0
    • Maximalität:
      • maximale Anzahl an Einsen
      • minimale Anzahl an Nullen

(abgesehen v​on trivialer Einsfunktion)

Bezug zum Karnaugh-Veitch-Diagramm

Man spricht auch vom Minterm einer Funktion , wenn dieser impliziert, d. h. wenn gilt

.

Dabei ist der Vektor der Eingangsvariablen. Derartige Minterme entsprechen umkehrbar eindeutig denjenigen Feldern eines Karnaugh-Veitch-Diagramms, die für die betrachtete Funktion den Wert 1 enthalten.

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