Vivianisches Fenster

Ein vivianisches Fenster oder vivianische Kurve, benannt nach dem italienischen Mathematiker und Physiker Vincenzo Viviani, ist eine 8-förmige Kurve auf einer Kugel, die man als Schnittkurve der Kugel (Radius ${\displaystyle r}$) und einem die Kugel berührenden Zylinder mit Radius ${\displaystyle r/2}$ erzeugen kann.[1][2] (S. Bild).

Viviani-Fenster: Schnitt einer Kugel mit einem berührenden Zylinder

Die hellblaue Halbkugelfläche ist quadrierbar

Viviani stellte 1692 die Aufgabe, aus einer Halbkugel (Radius ${\displaystyle r}$) zwei Fenster so herauszuschneiden, dass der Rest der Halbkugelfläche „quadrierbar“ ist. Dabei bedeutet quadrierbar: Man kann mit Zirkel und Lineal ein flächengleiches Quadrat konstruieren. Es stellt sich heraus (s. unten), dass der fragliche Flächeninhalt ${\displaystyle 4r^{2}}$ ist.

Senkrechter Zylinder

Analytische Beschreibung

Um d​ie Quadrierbarkeit möglichst einfach zeigen z​u können, w​ird hier angenommen, dass

die Kugel durch die Gleichung ${\displaystyle \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\;}$ beschrieben wird und

der Zylinder senkrecht steht und der Gleichung ${\displaystyle \;x^{2}+y^{2}-rx=0\;}$ genügt.

Der Zylinder berührt die Kugel im Punkt ${\displaystyle (r,0,0)\ .}$

Eigenschaften der Kurve

Grund-, Auf- und Seitenrisse

Grund, -Auf- und Seitenriss

Durch Elimination von ${\displaystyle x}$ bzw. ${\displaystyle y}$ bzw. ${\displaystyle z}$ aus den Gleichungen ergibt sich: Die orthogonale Projektion der Kurve auf die

${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$-Ebene ist der Kreis mit der Gleichung ${\displaystyle \;(x-{\tfrac {r}{2}})^{2}+y^{2}=({\tfrac {r}{2}})^{2}\ .}$

${\displaystyle x}$-${\displaystyle z}$-Ebene die Parabel mit der Gleichung ${\displaystyle \;x=-{\tfrac {1}{r}}z^{2}+r\;.}$

${\displaystyle y}$-${\displaystyle z}$-Ebene die algebraische Kurve mit der Gleichung ${\displaystyle \;z^{4}+r^{2}(y^{2}-z^{2})=0\;.}$

Parameterdarstellung

Zur Parameterdarstellung und Inhaltsbestimmung

Stellt m​an die Kugel m​it Kugelkoordinaten

${\displaystyle {\begin{array}{cll}x&=&r\cdot \cos \theta \cdot \cos \varphi \\y&=&r\cdot \cos \theta \cdot \sin \varphi \\z&=&r\cdot \sin \theta \qquad \qquad -{\tfrac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\tfrac {\pi }{2}}\ ,\ -\pi \leq \varphi \leq \pi \;,\end{array}}}$

dar und setzt ${\displaystyle \;\varphi =\theta ,\;}$ erhält man die Kurve

• ${\displaystyle {\begin{array}{cll}x&=&r\cdot \cos \theta \cdot \cos \theta \\y&=&r\cdot \cos \theta \cdot \sin \theta \\z&=&r\cdot \sin \theta \qquad \qquad -{\tfrac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\tfrac {\pi }{2}}\ .\end{array}}}$

Man prüft leicht nach, dass diese Kurve nicht nur auf der Kugel liegt, sondern auch die Zylindergleichung erfüllt. Diese Kurve ist allerdings nur die eine Hälfte (rot) der Viviani-Kurve, nämlich der Teil von links unten nach rechts oben. Den anderen Teil (grün, von rechts unten nach links oben) erhält man über die Beziehung ${\displaystyle \;\color {green}\varphi =-\theta \;.}$

Mit Hilfe dieser Parameterdarstellung lässt s​ich die Aufgabe v​on Viviani leicht lösen.

Quadrierbarkeit der Restfläche

Den Inhalt d​es rechten oberen Viertels d​es vivianischen Fensters (s. Bild) erhält m​an mittels e​ines Oberflächenintegrals:

${\displaystyle \iint _{O_{Kug}}r^{2}\cos \theta \,\mathrm {d} \theta \mathrm {d} \varphi =r^{2}\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\theta }\cos \theta \,\mathrm {d} \varphi \mathrm {d} \theta =r^{2}({\frac {\pi }{2}}-1)\ .}$

Der gesamte Flächeninhalt des von der vivianischen Kurve eingeschlossenen Fläche ist also ${\displaystyle 2\pi r^{2}-4r^{2}}$ und

• der Inhalt der Halbkugel-Oberfläche (${\displaystyle 2\pi r^{2}}$) ohne dem Inhalt des vivianischen Fensters ist ${\displaystyle \;4r^{2}\;}$, also gleich dem Quadrat des Kugeldurchmessers.

Beziehung zu anderen Kurven

• Der Aufriss (s. oben) ist eine Lemniskate von Gerono.
• Die vivianische Kurve ist ein Spezialfall einer Clelia-Kurve. Bei einer Clelia-Kurve ist ${\displaystyle \;\varphi =c\;\theta \;.}$

Vivianische Kurve als Schnitt der Kugel mit einem Kegel (rosa)

Subtrahiert m​an von d​er Kugelgleichung 2× d​ie Zylindergleichung u​nd führt quadratische Ergänzung durch, erhält m​an die Gleichung

${\displaystyle (x-r)^{2}+y^{2}=z^{2}\;.}$

Diese Gleichung beschreibt einen senkrechten Kreiskegel mit der Spitze im Punkt ${\displaystyle \;(r,0,0)\;}$, dem Doppelpunkt der vivianischen Kurve. Also gilt

• Die vivianische Kurve ergibt sich auch sowohl beim Schnitt

a) der Kugel mit dem Kegel mit der Gleichung ${\displaystyle \;(x-r)^{2}+y^{2}=z^{2}\;}$

als auch beim Schnitt

b) des Zylinders mit diesem Kegel.

Einzelnachweise

1. Kuno Fladt: Analytische Geometrie spezieller Flächen und Raumkurven. Springer-Verlag, 2013, ISBN 3322853659, 9783322853653, S. 97.
2. K. Strubecker: Vorlesungen der Darstellenden Geometrie. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1967, S. 250.