Unterobjekt-Klassifizierer

Unterobjekt-Klassifizierer werden i​m mathematischen Teilgebiet d​er Kategorientheorie untersucht. Es handelt s​ich um e​inen Monomorphismus, s​o dass j​edes Unterobjekt a​uf diese Weise a​ls Pullback dieses Monomorphismus längs e​ines eindeutig bestimmten Morphismus auftritt. Die Grundidee stammt a​us der Kategorie d​er Mengen, i​n der e​ine Teilmenge m​it der zugehörigen charakteristischen Funktion identifiziert werden kann.

Unterobjekt-Klassifizierer für Mengen

Es sei ${\displaystyle true:\{0\}\rightarrow \{0,1\}}$ durch ${\displaystyle true(0):=1}$ definiert, das ist offenbar ein Monomorphismus in ${\displaystyle {\mathcal {Set}}}$, der Kategorie der Mengen. Ferner seien ${\displaystyle C}$ eine Menge und ${\displaystyle D\subset C}$ eine Teilmenge.

${\displaystyle \chi _{D}:C\rightarrow \{0,1\},\quad c\mapsto {\begin{cases}1&{\text{ wenn }}c\in D\\0&{\text{ wenn }}c\notin D\end{cases}}}$

sei die charakteristische Funktion der Teilmenge ${\displaystyle D\subset C}$. Bezeichnet man die Inklusion ${\displaystyle D\subset C}$ mit ${\displaystyle \iota }$, so hat man folgendes Diagramm

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}D&\rightarrow &\{0\}\\{\Bigg \downarrow }\iota &&{\Bigg \downarrow }true\\C&{\xrightarrow[{}]{\chi _{D}}}&\{0,1\}\end{array}}}$,

das offenbar kommutativ ist, denn beide möglichen Pfade bilden alles auf 1 ab. Mehr noch, dieses Diagramm ist sogar ein Pullback, denn macht auch ${\displaystyle f:E\rightarrow C}$ das Diagramm

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}E&\rightarrow &\{0\}\\{\Bigg \downarrow }f&&{\Bigg \downarrow }true\\C&{\xrightarrow[{}]{\chi _{D}}}&\{0,1\}\end{array}}}$

kommutativ, so muss ${\displaystyle f(E)\subset D}$ sein, das heißt, es gibt eine eindeutige Faktorisierung ${\displaystyle f=\iota \circ f|^{D}}$, wobei ${\displaystyle f|^{D}}$ die Abbildung ${\displaystyle f}$ mit auf ${\displaystyle D}$ eingeschränkter Zielmenge sei. Streng genommen müsste man auch die Faktorisierung des Pfeils nach ${\displaystyle \{0\}}$ zeigen, aber da es von jeder Menge nur eine einzige Abbildung nach ${\displaystyle \{0\}}$ geben kann (man sagt dazu auch, ${\displaystyle \{0\}}$ sei ein terminales Objekt), ist das automatisch erfüllt. Ferner kann man sich leicht überlegen, dass ${\displaystyle \chi _{D}}$ die einzige Abbildung ${\displaystyle C\rightarrow \{0,1\}}$ ist, die das erstgenannte Diagramm zu einem Pullback macht. Dies ist letztlich nichts anderes als die übliche Identifizierung einer Teilmenge mit der zugehörigen charakteristischen Funktion. Diese Betrachtungen motivieren folgende Definition:

Definition

Es sei ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ eine Kategorie mit einem terminalen Objekt ${\displaystyle 1}$. Ein Unterobjekt-Klassifizierer ist ein Monomorphismus ${\displaystyle true:1\rightarrow \Omega }$ in ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, so dass folgende Eigenschaft erfüllt ist: Zu jedem Monomorphismus ${\displaystyle m:D\rightarrow C}$ in ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ gibt es genau einen Morphismus ${\displaystyle \chi _{m}:C\rightarrow \Omega }$, so dass

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}D&\rightarrow &1\\{\Bigg \downarrow }m&&{\Bigg \downarrow }true\\C&{\xrightarrow[{}]{\chi _{m}}}&\Omega \end{array}}}$

ein Pullback ist.[1]

Beispiele

• Nach obigen Ausführungen ist ${\displaystyle true:\{0\}\rightarrow \{0,1\}}$ ein Unterobjekt-Klassifizierer in der Kategorie der Mengen.
• Es sei ${\displaystyle M}$ ein Monoid und ${\displaystyle {\mathcal {B}}M}$ die Kategorie der M-Räume. Ein „Rechtsideal“ in ${\displaystyle M}$ ist eine Teilmenge ${\displaystyle N\subset M}$, so dass ${\displaystyle N\supset Na}$ für alle ${\displaystyle a\in M}$. Die leere Menge und ${\displaystyle M}$ sind stets Rechtsideale. Die Menge ${\displaystyle \Omega }$ aller Rechtsideale von ${\displaystyle M}$ wird durch die Operation

${\displaystyle \Omega \times M\rightarrow M,\quad (N,a)\mapsto N\cdot a:=\{b\mid ab\in N\}}$

zu einem ${\displaystyle M}$-Raum. Der einelementige Raum ${\displaystyle 1=\{0\}}$ mit der trivialen (und einzig möglichen) Operation von ${\displaystyle M}$ ist ein terminales Objekt in ${\displaystyle {\mathcal {B}}M}$ und

${\displaystyle true:1=\{0\}\rightarrow \Omega ,\quad true(0):=M}$

ist ein Unterobjekt-Klassifizierer in ${\displaystyle {\mathcal {B}}M}$. Ist ${\displaystyle m:D\rightarrow C}$ ein ${\displaystyle M}$-Monomorphismus, so leistet

${\displaystyle \chi _{m}:C\rightarrow \Omega ,\quad c\mapsto \chi _{m}(c):=\{a\in M\mid x\cdot a\in m(D)\}}$

das Verlangte.[2]

• Eine beliebige kleine Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ lässt sich bekanntlich mittels der Yoneda-Einbettung in die Kategorie der Prägarben auf ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, das heißt in die Funktorkategorie ${\displaystyle {\hat {\mathcal {C}}}={\mathcal {Set}}^{{\mathcal {C}}^{op}}}$ volltreu einbetten. Auch wenn ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ selbst keinen Unterobjekt-Klassifizierer hat, so gibt es stets einen in ${\displaystyle {\hat {\mathcal {C}}}}$.

Da ${\displaystyle 1=\{0\}}$ ein terminales Objekt in ${\displaystyle {\mathcal {Set}}}$ ist, prüft man leicht, dass der mit ${\displaystyle {\hat {1}}}$ bezeichnete Funktor ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{op}\rightarrow {\mathcal {Set}}}$, der jedes Objekt auf 1 und alle Morphismen auf ${\displaystyle \mathrm {id} _{1}:1\rightarrow 1}$ abbildet, ein terminales Objekt in ${\displaystyle {\hat {\mathcal {C}}}}$ ist.

Wir definieren nun ein Objekt ${\displaystyle \Omega }$ in ${\displaystyle {\hat {\mathcal {C}}}}$, das heißt einen Funktor ${\displaystyle \Omega$ :{\mathcal {C}}^{op}\rightarrow {\mathcal {Set}}} durch

${\displaystyle \Omega (C)}$ = Menge aller Siebe auf ${\displaystyle C}$

und für einen Morphismus ${\displaystyle f:C\rightarrow D}$

${\displaystyle \Omega (f):\Omega (D)\rightarrow \Omega (C),\quad \Omega (f)(S):=f^{*}(S):=\{h\mid f\circ h\in S\}}$

Bezeichnet ${\displaystyle t(C)}$ das maximale Sieb auf ${\displaystyle C}$, also die Menge aller Morphismen mit Ziel ${\displaystyle C}$, so ist

${\displaystyle true:{\hat {1}}\rightarrow \Omega ,\quad true_{C}:{\hat {1}}(C)=\{0\}\rightarrow \Omega (C),\quad 0\mapsto t(C)}$

ein Unterobjekt-Klassifizierer in ${\displaystyle {\hat {\mathcal {C}}}}$.[2][3]

• Viele weitere Kategorien sind äquivalent zu einer Prägarben-Kategorie des vorangegangenen Beispiels und viele darin enthaltene Teilkategorien, insbesondere Kategorien von Garben, haben Unterobjekt-Klassifizierer. Die Existenz eines Unterobjekt-Klassifizierers ist integraler Bestandteil der Definition eines Topos.
• Die Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {Ab}}}$ der abelschen Gruppen hat keinen Unterobjekt-Klassifizierer. Allgemeiner hat die Kategorie der Links-R-Moduln über einem beliebigen Ring ${\displaystyle R}$ keinen Unterobjekt-Klassifizierer.

Darstellung des Unterobjektfunktors

Unterobjekte in einer Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ sind Äquivalenzklassen (Isomorphieklassen) von Monomorphismen ${\displaystyle m:S\rightarrow C}$. Wir wollen von ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ voraussetzen, dass die Gesamtheit der Unterobjekte eines Objektes ${\displaystyle C}$ eine Menge bildet, die wir mit ${\displaystyle \mathrm {Sub} _{\mathcal {C}}(C)}$ bezeichnen. Ferner wollen wir voraussetzen, dass ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ endliche Limiten, also insbesondere Pullbacks besitzt. Ist ${\displaystyle f:C\rightarrow D}$ ein Morphismus in ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, so gibt es zu jedem Unterobjekt von ${\displaystyle D}$, das etwa durch einen Monomorphismus ${\displaystyle h:E\rightarrow D}$ repräsentiert werde, ein Pullback

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}E'&{\xrightarrow[{}]{f'}}&E\\{\Bigg \downarrow }h'&&{\Bigg \downarrow }h\\C&{\xrightarrow[{}]{f}}&D\end{array}}}$

und man erhält mittels der Zuordnung ${\displaystyle h\mapsto h'}$ eine wohldefinierte Abbildung ${\displaystyle \mathrm {Sub} _{\mathcal {C}}(D)\rightarrow \mathrm {Sub} _{\mathcal {C}}(C)}$, die man mit ${\displaystyle \mathrm {Sub} _{\mathcal {C}}(f)}$ bezeichnet. Auf diese Weise erhält man den sogenannten Unterobjektfunktor ${\displaystyle \mathrm {Sub} _{\mathcal {C}}:{\mathcal {C}}^{op}\rightarrow {\mathcal {Set}}}$. Unter den genannten Voraussetzungen an ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ gilt nun, dass es genau dann einen Unterobjekt-Klassifizierer gibt, wenn der Unterobjektfunktor darstellbar ist, genauer, wenn es ein Objekt ${\displaystyle \Omega }$ in ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ gibt und in ${\displaystyle C}$ natürliche Isomorphismen

${\displaystyle \alpha _{C}:\mathrm {Sub} _{\mathcal {C}}(C)\cong \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(C,\Omega )}$.[4]

Einzelnachweise

1. Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk: Sheaves in Geometry and Logic. Springer-Verlag, 1992, ISBN 978-0-387-97710-2, Definition in Kap. I.3
2. Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk: Sheaves in Geometry and Logic. Springer-Verlag, 1992, ISBN 978-0-387-97710-2, Kap. I.4
3. Peter T. Johnstone: Sketches of an Elephant, A Topos Theory Compendium. Volume 1. Clarendon Press, Oxford 2002, ISBN 978-0-19-853425-9, Lemma A.1.6.6
4. Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk: Sheaves in Geometry and Logic. Springer-Verlag, 1992, ISBN 978-0-387-97710-2, Satz 1 in Kap. I.3