Ungleichung von Frobenius

Die Ungleichung v​on Frobenius i​st ein Ergebnis d​er Linearen Algebra, e​inem der Teilgebiete d​er Mathematik. Sie i​st nach Georg Frobenius benannt u​nd behandelt d​ie Beziehungen zwischen d​en Rängen dreier hintereinander ausgeführter linearer Abbildungen.

Formulierung der Ungleichung

Die Ungleichung besagt folgendes:[1][2]

Gegeben seien vier Vektorräume ${\displaystyle U,V,W,X}$ über einem beliebigen Körper ${\displaystyle K}$ und dazu drei lineare Abbildungen  ${\displaystyle \alpha \colon U\to V}$  ,   ${\displaystyle \beta \colon V\to W}$   und   ${\displaystyle \gamma \colon W\to X}$  .

Dann gilt:

${\displaystyle \mathrm {rg} (\gamma \beta )+\mathrm {rg} (\beta \alpha )\leq \mathrm {rg} (\beta )+\mathrm {rg} (\gamma \beta \alpha )}$  .[3]

Beweisskizze

Sei ${\displaystyle W_{0}}$ ein Komplementärraum von ${\displaystyle \mathrm {im} (\beta \alpha )}$   in   ${\displaystyle \mathrm {im} (\beta )}$, also

${\displaystyle \mathrm {im} (\beta )=\mathrm {im} (\beta \alpha )\oplus W_{0}}$ .

Dann folgt

${\displaystyle \mathrm {im} (\gamma \beta )=\mathrm {im} (\gamma \beta \alpha )+\gamma (W_{0})}$

und weiter

${\displaystyle \mathrm {rg} (\gamma \beta )\leq \mathrm {rg} (\gamma \beta \alpha )+\dim(\gamma (W_{0}))}$ .

Damit bekommt man

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {rg} (\beta \alpha )+\mathrm {rg} (\gamma \beta )&\leq \mathrm {rg} (\beta \alpha )+\mathrm {rg} (\gamma \beta \alpha )+\dim(\gamma (W_{0}))\\&\leq \mathrm {rg} (\beta \alpha )+\mathrm {rg} (\gamma \beta \alpha )+\dim(W_{0})\\&=[\dim(\mathrm {im} (\beta \alpha ))+\dim(W_{0})]+\mathrm {rg} (\gamma \beta \alpha )\\&=\dim(\mathrm {im} (\beta ))+\mathrm {rg} (\gamma \beta \alpha )\\&=\mathrm {rg} (\beta )+\mathrm {rg} (\gamma \beta \alpha ),\end{aligned}}}$

also insgesamt d​ie behauptete Ungleichung.

Anmerkung

Da bei beliebigen Vektorräumen der Dimensionsbegriff und auch der Nachweis der Existenz eines Komplementärraums die Annahme der Gültigkeit des Auswahlaxioms erfordert, ist im Falle, dass man diese Annahme nicht treffen möchte, von Vektorräumen endlicher Dimension auszugehen. Für solche ist die Ungleichung stets gültig.

Literatur

• Hans-Joachim Kowalsky, Gerhard O. Michler: Lineare Algebra (= De-Gruyter-Lehrbuch). 12., überarbeitete Auflage. Verlag Walter de Gruyter, Berlin (u. a.) 2003, ISBN 3-11-017963-6.
• Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra. Unter Einschluß der linearen Algebra. Teil 1 (= Mathematische Leitfäden). 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Teubner Verlag, Stuttgart 1994, ISBN 3-519-12203-0 (MR1312830).

Einzelnachweise und Anmerkungen

1. Hans-Joachim Kowalsky, Gerhard O. Michler: Lineare Algebra (= De-Gruyter-Lehrbuch). 12., überarbeitete Auflage. Verlag Walter de Gruyter, Berlin (u. a.) 2003, ISBN 3-11-017963-6, S. 77–78, 375–376.
2. Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra. Unter Einschluß der linearen Algebra. Teil 1 (= Mathematische Leitfäden). 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Teubner Verlag, Stuttgart 1994, ISBN 3-519-12203-0, S. 389 (MR1312830).
3. Der Übersichtlichkeit der Formeln wegen nimmt man anstelle der Darstellung der Komposition in der Form ${\displaystyle \beta \circ \alpha }$ die kürzere multiplikative Darstellung in der Form ${\displaystyle \beta \alpha }$ und entsprechend in den anderen Fällen.