Transkritische Bifurkation
Die transkritische Bifurkation beschreibt einen Vorgang, bei dem die Stabilität („anziehend“ oder „abstoßend“) zweier Ruhelagen eines Systems vertauscht wird. Sie ist damit ein bestimmter Typ einer Bifurkation eines nichtlinearen Systems.
![](../I/Transcritical_bif_potential.png.webp)
![](../I/Transcritical_Bifurcation.gif)
Die Normalform der transkritischen Bifurkation ist:
wobei der Bifurkationsparameter ist.[1]
Die transkritische Bifurkation hat folgende Gleichgewichtspunkte:
Setzt man mit in die Normalform ein (d. h. man stört den Fixpunkt) und vernachlässigt alle Terme der Ordnung , erhält man
für die zeitliche Entwicklung der Störung .
Für ist also ein stabiler Fixpunkt (d. h. die Störung nimmt mit der Zeit ab) und ein instabiler (die Störung wächst). Für ist es umgekehrt. Bei dem kritischen Wert des Bifurkationsparameters ist der (in diesem Fall einzige) Fixpunkt indifferent stabil.
Diskretes System
Die diskrete logistische Abbildung
folgt ebenfalls einer transkritischen Bifurkation. Sie besitzt die Fixpunkte und . Der Ursprung ist hier stabil für und instabil für , während für stabil ist und diese Stabilität für verliert.[1]
Die logistische Gleichung kann aus der kontinuierlichen Normalform durch den Übergang und die Transformation gewonnen werden.
Beispiel
Bei einem logistischen Wachstum ist die zeitliche Änderung einer Ressource proportional zu ihrem derzeitigen Wert und zur Differenz dieses Werts von einer Schranke , zum Beispiel bei der Anzahl an Tieren in einem bestimmten Gebiet. Die Proportionalitätskonstante sei . Tritt zusätzlich ein Konsum dieser Ressource proportional zu ihrer momentanen Verfügbarkeit mit Proportionalitätskonstante auf, beispielsweise durch Bejagung, dann lautet die Differentialgleichung
Dies lässt sich durch die Variablentransformation in die Normalform überführen und man identifiziert . Für ist also ein stabiler Fixpunkt: Würde ein Tier in das Gebiet ausgesetzt, würden die Jäger dieses sofort schießen und ein Anwachsen unterbinden. Der Fixpunkt ist hingegen instabil: Schießen die Jäger auch nur kurzzeitig zu viel Wild, kann es sich nicht erholen und stirbt bei gleichbleibender Bejagung aus (strebt gegen ). Für ändert sich das Verhalten der Fixpunkte: wird instabil, bei kurzzeitiger Erhöhung der Population wird nicht genügend Wild geschossen, um ein Anwachsen auf den Fixpunkt zu verhindern. Dieser ist stabil, das heißt, sowohl bei kurzzeitig zu viel als auch zu wenig geschossenem Wild schwankt die Population nur um .
Einzelnachweise
- Steven H. Strogatz: Nonlinear Dynamics and Chaos. Westview Press, Boulder, CO 2000, ISBN 978-0-7382-0453-6, S. 50 f., 357 f.