Transitive Menge

In der Mengenlehre nennt man eine Menge ${\displaystyle A}$ transitiv, falls

• aus ${\displaystyle x\in A}$ und ${\displaystyle y\in x}$ immer folgt, dass ${\displaystyle y\in A}$, in Zeichen:

${\displaystyle \forall x,y:\,x\in A\land y\in x\Rightarrow y\in A}$,

oder äquivalent falls

• jedes Element von ${\displaystyle A}$, das eine Menge ist, eine Teilmenge von ${\displaystyle A}$ ist.

Auf ‚echte‘ (d. h. von der Leermenge verschiedene) Urelemente kommt es dabei nicht an.
Analog dazu nennt man eine Klasse ${\displaystyle A}$ transitiv, falls jedes Element von ${\displaystyle A}$ eine Teilmenge von ${\displaystyle A}$ ist.

Beispiele

• Eine Ordinalzahl nach der Definition von John von Neumann ist eine transitive Menge mit der Eigenschaft, dass jedes Element wieder transitiv ist.
• Ein Grothendieck-Universum ist per definitionem eine transitive Menge.
• Transitive Klassen werden als Modelle für die Mengenlehre selbst verwendet.

Eigenschaften

• Eine Menge ${\displaystyle A}$ ist genau dann transitiv, wenn ${\displaystyle \bigcup A\subseteq A}$, wobei ${\displaystyle \bigcup A=\bigcup _{x\in A}x=\{y|(\exists x\in A)y\in x\}=\{y|y\in ^{2}A\}}$ die Vereinigung aller Elemente von ${\displaystyle A}$ ist.[1]
• Falls ${\displaystyle A}$ transitiv ist, dann ist auch ${\displaystyle \bigcup A}$ transitiv.
• Falls ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ transitive Mengen sind, dann ist auch ${\displaystyle A\cup B\cup \{A,B\}}$ transitiv
• Allgemein, falls ${\displaystyle A}$ eine Klasse ist, deren Elemente alle transitive Mengen sind, dann ist ${\displaystyle A\cup \bigcup A}$ eine transitive Klasse.
• Eine Menge ${\displaystyle A}$ ist genau dann transitiv, wenn ${\displaystyle A}$ eine Teilmenge der Potenzmenge von ${\displaystyle A}$ ist.
• Die Potenzmenge einer transitiven Menge ist wieder transitiv. Diese Eigenschaft wird bei der Von-Neumann-Hierarchie verwendet um einzusehen, dass alle Stufen dieser Hierarchie transitiv sind.

Verallgemeinerung

Sei gegeben eine Menge (oder Klasse) ${\displaystyle A}$ und eine Relation ${\displaystyle R}$ darauf. ${\displaystyle A}$ heißt ${\displaystyle R}$-transitiv, wenn gilt:

${\displaystyle \forall x,y:\,x\in A\land y\,R\,x\Rightarrow y\in A}$.[2]

Im Fall ${\displaystyle R={\in }}$ ergibt sich die obige Definition als Spezialfall.

Anmerkungen

1. In diese Vereinigung gehen nur Elemente ein, die Mengen sind, also keine (‚echten‘) Urelemente.
2. Wolfram Pohlers: Mengenlehre (PDF), Universität Münster, Institut für mathematische Logik und Grundlagenforschung, Vorlesungsskript, SS 1994, Seite 31

Siehe auch

• Transitive Relation
• Transitive Hülle (Menge)

Literatur

• Thomas Jech [originally published in 1973]: The Axiom of Choice. Dover Publications, 2008, ISBN 0-486-46624-8.