Thomaesche Funktion

Die thomaesche Funktion, benannt n​ach dem deutschen Mathematiker Carl Johannes Thomae (1840–1921), i​st eine mathematische Funktion, d​ie auf d​en rationalen Zahlen unstetig u​nd auf d​en irrationalen stetig ist. Sie i​st verwandt m​it der Dirichlet-Funktion u​nd hat w​ie diese k​eine praktische Bedeutung, sondern d​ient als Beispiel für Stetigkeit u​nd weitere mathematische Themen.

Graph der thomaeschen Funktion auf (0,1)

Weitere Bezeichnungen i​n Anlehnung a​n den Graph s​ind Lineal-Funktion,[1] Regentropfen-Funktion, Popcorn-Funktion (nach Popcorn i​n der Pfanne) o​der nach John Horton Conway Sterne über Babylon.

Definition

Die thomaesche Funktion wird als reellwertige Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow [0,1]}$ definiert durch:

${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {1}{q}}\ ,&{\text{wenn }}x>0{\text{ und }}x={\frac {p}{q}}{\text{ rational mit }}\operatorname {ggT} (p,q)=1\,\\0\ ,&{\text{wenn }}x{\text{ irrational ist,}}\\1\ ,&{\text{wenn }}x=0.\\\end{array}}\right.}$

Die thomaesche Funktion ist ein einfaches Beispiel einer Funktion, deren Menge der Unstetigkeitsstellen kompliziert ist. Genauer gilt: ${\displaystyle f}$ ist stetig auf allen irrationalen Zahlen in [0,1] und unstetig auf allen rationalen Zahlen dieses Intervalls.

Das kann, grob gesagt, folgendermaßen gezeigt werden: Falls ${\displaystyle x}$ irrational ist und ${\displaystyle y}$ nahe bei ${\displaystyle x}$ liegt, so ist entweder ${\displaystyle y}$ irrational oder ${\displaystyle y}$ eine rationale Zahl mit großem Nenner. In beiden Fällen liegt ${\displaystyle f(y)}$ nahe bei ${\displaystyle f(x)=0}$. Ist andererseits ${\displaystyle x}$ rational und ${\displaystyle (y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge von irrationalen Zahlen in (0,1), die gegen ${\displaystyle x}$ konvergiert, so ist ${\displaystyle f(y_{n})\equiv 0}$, welches nicht gegen ${\displaystyle f(x)\neq 0}$ konvergiert.

Verwandte Fragestellung

Umgekehrt gibt es jedoch keine Funktion, die stetig auf den rationalen Zahlen und unstetig auf den irrationalen Zahlen ist, denn die Menge der Unstetigkeitsstellen ist stets eine ${\displaystyle F_{\sigma }}$-Menge (Satz von Young), während aus dem baireschen Kategoriensatz folgt, dass die Menge der irrationalen Zahlen keine ${\displaystyle F_{\sigma }}$-Menge ist.

Unstetigkeitsstellenmengen

Mithilfe einer Variante der thomaeschen Funktion kann man zeigen, dass jede beliebige ${\displaystyle F_{\sigma }}$-Teilmenge ${\displaystyle A}$ des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ auch tatsächlich als Unstetigkeitsstellenmenge einer Funktion ${\displaystyle f_{A}\colon \mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R} }$ vorkommt. Ist nämlich ${\displaystyle \textstyle A=\bigcup _{n=1}^{\infty }F_{n}}$ eine abzählbare Vereinigung abgeschlossener Mengen ${\displaystyle F_{n}}$, so setze man

${\displaystyle f_{A}(x):=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {1}{n}}\ ,&{\text{falls }}x\in A\cap \mathbb {Q} ^{d}{\text{ und }}n{\text{ minimal, so dass }}x\in F_{n},\\-{\frac {1}{n}}\ ,&{\text{falls }}x\in A\setminus \mathbb {Q} ^{d}{\text{ und }}n{\text{ minimal, so dass}}\ x\in F_{n}\ ,\\0\ ,&{\text{falls }}x\notin A.\\\end{array}}\right.}$

Durch ein ähnliches Argument wie bei der thomaeschen Funktion sieht man, dass ${\displaystyle A}$ die Menge der Unstetigkeitsstellen von ${\displaystyle f_{A}}$ ist.

Literatur

• J. Thomae: Einleitung in die Theorie der bestimmten Integrale, Verlag von Louis Nebert, Halle a/S, 1875. (Die Funktion findet sich in §20 auf Seite 14.)
• Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert: Introduction to Real Analysis. 3. Auflage. Wiley, 1999, ISBN 978-0-471-32148-4, Example 5.1.6 (h).
• Stephen Abbot: Understanding Analysis. Springer-Verlag, Berlin 2001, ISBN 0-387-95060-5.

Einzelnachweise

1. „… the so-called ‘ruler function’, a simple but provocative example that appeared in a work of Johannes Karl Thomae … The graph suggests the vertical markings on a ruler – hence the name.“ Zitiert nach William Dunham: The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue. Princeton University Press, 2004, ISBN 978-0-691-09565-3, Chapter 10.