Satz von Young (Mengenlehre)

Der Satz v​on Young, benannt n​ach William Henry Young, i​st eine Aussage a​us der deskriptiven Mengenlehre u​nd der Theorie d​er Funktionen e​iner reellen Veränderlichen, d​ie die Menge d​er Unstetigkeitsstellen e​iner Funktionen beschreibt.

Mit Hilfe d​es Satzes v​on Young u​nd des Satzes v​on Baire lässt s​ich beispielsweise zeigen, d​ass es k​eine Funktion g​eben kann, d​ie an a​llen irrationalen Stellen unstetig u​nd an a​llen rationalen Stellen stetig ist.

Formulierung des Satzes

Die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ist eine F_σ-Menge, also eine abzählbare Vereinigung abgeschlossener Mengen, die Menge der Stetigkeitsstellen dagegen eine G_δ-Menge, also ein abzählbarer Durchschnitt offener Mengen.

Man kann auch beweisen, dass es für jede ${\displaystyle F_{\sigma }}$-Menge ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine Funktion gibt, so dass ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ die Menge ihrer Unstetigkeitstellen ist.

Beispiel

Die Funktion

${\displaystyle r(x)={\begin{cases}{\frac {1}{q}},&x\in \mathbb {Q} ,\ q=\min\{n:n\in \mathbb {N} ,\ nx\in \mathbb {Z} \}\\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} ,\end{cases}}}$

die jeder rationalen Zahl den Stammbruch mit demselben Nenner zuordnet und irrationale Zahlen auf 0 abbildet, ist an allen rationalen Stellen unstetig und an allen irrationalen Stellen stetig. Die Menge der rationalen Punkte ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ist als eine abzählbare Vereinigung von abgeschlossenen (nämlich einpunktigen) Mengen eine ${\displaystyle F_{\sigma }}$-Menge:

${\displaystyle \mathbb {Q} =\bigcup _{x\in \mathbb {Q} }\left\{x\right\}}$

Beweis

Siehe: Beweis d​es Satzes v​on Young i​m Beweisarchiv

Literatur

• Felix Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre. Veit & Comp., Leipzig 1914 (Nachdruck. Chelsea Publishing Company, New York NY 1949).
• Klaus Gloede: Skriptum zur Vorlesung Deskriptive Mengenlehre. (PDF; 764 kB). Mathematisches Institut der Universität Heidelberg, Juni 2006.