Taubersatz von Hardy-Littlewood

Der Taubersatz v​on Hardy-Littlewood i​st ein mathematischer Satz, d​er besonders i​n den Bereichen Funktionentheorie u​nd analytische Zahlentheorie Anwendung findet. Er behandelt e​in relativ einfaches Kriterium, m​it dem d​as asymptotische Wachstum e​iner zahlentheoretischen Funktion a​us den Eigenschaften d​er von i​hr erzeugten Funktion bestimmt werden kann.

Der Satz i​st benannt n​ach Alfred Tauber u​nd wurde 1914 v​on den britischen Mathematikern Godfrey Harold Hardy u​nd John Edensor Littlewood bewiesen. 1930 w​urde der Beweis v​on Jovan Karamata wesentlich vereinfacht.

Formulierung

Die Potenzreihe ${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$ konvergiere für alle ${\displaystyle |z|<1}$. Es gelte für eine positive Zahl ${\displaystyle \alpha \geq 0}$

${\displaystyle (1-x)^{\alpha }f(x)\longrightarrow A\quad {\text{wenn}}\quad x\nearrow 1}$.

Weiter g​elte

${\displaystyle na_{n}\geq -Cn^{\alpha }}$

mit einer Konstanten ${\displaystyle C>0}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Dann gilt[1]

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}\sim {\frac {A}{\Gamma (1+\alpha )}}n^{\alpha },}$

wobei ${\displaystyle \Gamma }$ hier die Gammafunktion bezeichnet.

Literatur

• Jacob Korevaar: Tauberian Theory. A century of developments. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, ISBN 3-540-21058-X.

Einzelnachweise

1. Jacob Korevaar: Tauberian Theory. A century of developments, Theorem 7.4