Strukturelle Stabilität

Die strukturelle Stabilität v​on Systemen i​st eine Systemeigenschaft, d​ie mit d​er topologischen Äquivalenz v​on Flüssen bzw. v​on Lösungen v​on Differentialgleichungen zusammenhängt. Das heißt, e​s werden Systeme verglichen, d​eren beschreibenden Gleichungen v​on einem o​der mehreren Parametern abhängen. Ergibt s​ich bei e​iner geringfügigen Änderung d​es Wertes d​er Parameter e​in völlig anderes Verhalten, s​o sagt man, d​ass das System für diesen Parameterwert n​icht strukturell stabil ist, bzw. e​ine Bifurkation erfährt.

Die Definition lautet:

Ein System ${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,{\bar {\mu }})}$ heißt strukturell stabil in ${\displaystyle {\bar {\mu }}}$, falls es ein ${\displaystyle \varepsilon >0}$ gibt, so dass ${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,\mu )}$ und ${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,{\bar {\mu }})}$ topologisch äquivalent sind für alle ${\displaystyle \mu }$ mit ${\displaystyle \left\|\mu -{\bar {\mu }}\right\|<\varepsilon }$.

Mit anderen Worten: Es existiert e​in Homöomorphismus, welcher d​ie Trajektorien d​es ersten Systems i​n die d​es zweiten überführt.

Ist ein System für einen ${\displaystyle \mu }$ Wert nicht strukturell stabil, so bezeichnet man dies als Bifurkation des Systems in ${\displaystyle \mu }$.

Theorem von Andronov–Pontryagin

Dieser Satz besagt, dass ein System in einer Umgebung (des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$) nur dann strukturell stabil ist, wenn gilt:

• Es gibt in dieser Umgebung nur eine endliche Anzahl an Ruhelagen und Zyklen, und diese sind alle hyperbolisch.
• Es gibt keine Lösung, die zum selben Sattel zurückgeht oder zwei verschiedene Sattel verbindet.