Strenger Test

Ein strenger Test i​st ein spezieller statistischer Test i​n der Testtheorie, e​inem Teilgebiet d​er mathematischen Statistik. Ihre Bedeutung erhalten strenge Tests ebenso w​ie Maximin-Tests dadurch, d​ass sie i​m Gegensatz z​u gleichmäßig besten Tests bereits u​nter schwachen Voraussetzungen existieren.

Definition

Gegeben sei ein (nicht notwendigerweise parametrisches) statistisches Modell ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},(P_{\vartheta })_{\theta \in \Theta })}$ sowie eine disjunkte Zerlegung der Indexmenge ${\displaystyle \Theta }$ in Nullhypothese ${\displaystyle \Theta _{0}}$ und Alternative ${\displaystyle \Theta _{1}}$.

Sei ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\alpha }}$ die Menge aller statistischen Tests zum Niveau ${\displaystyle \alpha }$. Sei ${\displaystyle G_{\Phi }}$ die Gütefunktion des Tests ${\displaystyle \Phi }$ und

${\displaystyle \beta _{{\mathcal {T}}_{\alpha }}^{+}(\vartheta ):=\sup _{\Phi \in {\mathcal {T}}_{\alpha }}G_{\Phi }(\vartheta )}$

die einhüllende Gütefunktion (englisch envelope power function) von ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\alpha }}$.

Ein ${\displaystyle \Psi \in {\mathcal {T}}_{\alpha }}$ heißt ein strenger Test zum Niveau ${\displaystyle \alpha }$, wenn

${\displaystyle \sup _{\vartheta \in \Theta _{1}}\left(\beta _{{\mathcal {T}}_{\alpha }}^{+}(\vartheta )-G_{\Psi }(\vartheta )\right)=\inf _{\Phi \in {\mathcal {T}}_{\alpha }}\sup _{\vartheta \in \Theta _{1}}\left(\beta _{{\mathcal {T}}_{\alpha }}^{+}(\vartheta )-G_{\Phi }(\vartheta )\right)}$

Erläuterung

Die einhüllende Gütefunktion liefert zu jedem Parameter ${\displaystyle \vartheta \in \Theta _{1}}$ die maximale Trennschärfe der Tests in ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\alpha }}$, wenn ${\displaystyle \vartheta }$ vorliegt. Somit ist der Ausdruck

${\displaystyle \beta _{{\mathcal {T}}_{\alpha }}^{+}(\vartheta )-G_{\Psi }(\vartheta )}$

das Defizit der Trennschärfe von ${\displaystyle \Psi }$ im Bezug auf die maximal mögliche Trennschärfe an der Stelle ${\displaystyle \vartheta }$. Folglich ist

${\displaystyle \sup _{\vartheta \in \Theta _{1}}\left(\beta _{{\mathcal {T}}_{\alpha }}^{+}(\vartheta )-G_{\Psi }(\vartheta )\right)}$

das maximale Defizit der Trennschärfe des Tests ${\displaystyle \Psi }$.

Somit i​st eine strenger Test e​in Test, b​ei dem d​ie maximale Abweichung v​on der maximal möglichen Trennschärfe (und s​omit der einhüllenden Gütefunktion) kleiner i​st als b​ei jedem anderen Test z​u einem vorgegebenen Niveau.

Existenz

Die Existenz von strengen Tests lässt sich unter recht schwachen Voraussetzungen zeigen. Zentrales Hilfsmittel hierzu ist die schwache Konvergenz und die Schwach-*-Konvergenz in ${\displaystyle L^{1}}$ und ${\displaystyle L^{\infty }}$.

Zentrale Aussage ist, dass wenn ein σ-endliches Maß ${\displaystyle \mu }$ existiert, so dass ${\displaystyle (P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta _{0}}}$ oder ${\displaystyle (P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta _{1}}}$ von diesem Maß dominiert werden, ein strenger Test zum Niveau ${\displaystyle \alpha }$ existiert.

Literatur

• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.