Starrer Körper (Algebra)

Ein starrer Körper (englisch: rigid field) i​st im mathematischen Teilgebiet d​er Algebra e​ine ausgezeichnete algebraische Struktur, u​nd zwar e​in Körper, d​er als (Körper-)Automorphismus n​ur einen einzigen, d​en trivialen, nämlich d​ie Identität, zulässt.[1]

Beispiele

Ein Primkörper ${\displaystyle \Pi }$ ist starr. Denn für jeden Automorphismus ${\displaystyle \sigma }$ ist ${\displaystyle \operatorname {Fix} (\Pi ,\sigma ):=\{x\in \Pi \;|\;\sigma (x)=x\}}$ in ${\displaystyle \Pi }$ enthalten und ein Körper (der Fixkörper). Da ${\displaystyle \Pi }$ keinen echten Teilkörper enthält, ist der Fixkörper gleich ganz ${\displaystyle \Pi }$, und ${\displaystyle \sigma }$ wirkt trivial auf ${\displaystyle \Pi }$.

Die starren Körper der Charakteristik 0 sind genau die euklidischen Körper. Dazu gehören u. a. der Primkörper der rationalen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, der Körper der reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ und der reell abgeschlossene Körper ${\displaystyle \mathbb {A} \cap \mathbb {R} }$ der algebraischen reellen Zahlen.

Gegenbeispiele

Ein Zwischenkörper ist nicht automatisch starr, wenn Ober- und Teilkörper es sind. Bspw. hat der quadratische Zahlkörper ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$, der zwischen den rationalen Zahlen und den reellen Zahlen liegt (${\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\subset \mathbb {A} \!\cap \!\mathbb {R} }$), eine nicht-triviale Konjugationsabbildung.

Ein Körper der Charakteristik 0, der ein Element ${\displaystyle \mathrm {i} }$ mit ${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}$ enthält, enthält auch eine Konjugationsabbildung, ist also nicht starr.

Einzelnachweise

1. Albrecht Beutelspacher: Lineare Algebra. 7. Auflage. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-528-66508-1, S. 40–41.