Sicherman-Würfel

Sicherman-Würfel (nach dem Erfinder George Sicherman) sind ein Paar von Spielwürfeln, die so beschriftet sind, dass jede mit diesem Paar gewürfelte Summe genauso häufig wie bei einem Paar gewöhnlicher Spielwürfel auftaucht. Diese Eigenschaft liefert sonst keine weitere Beschriftung von Würfeln mit positiven ganzen Zahlen. Die Sicherman-Würfel wurden von Martin Gardner 1978 bekannt gemacht. Statt mit den Zahlen 1 bis 6 ist einer der Würfel mit 1, 2, 2, 3, 3, 4, der andere mit 1, 3, 4, 5, 6, 8 beschriftet:

Sicherman-Würfel + 1 2 2 3 3 4 1 2 3 3 4 4 5 3 4 5 5 6 6 7 4 5 6 6 7 7 8 5 6 7 7 8 8 9 6 7 8 8 9 9 10 8 9 10 10 11 11 12

Gewöhnliche Würfel + 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12

Man kann also in einem Spiel mit zwei gewöhnlichen Würfeln, in dem nur die Summe der gewürfelten Zahlen verwendet wird, ohne Änderung der Wahrscheinlichkeitsverteilung auch Sicherman-Würfel verwenden. Ein Pasch tritt jedoch nicht gleich häufig auf.

Ein Beweis dafür, dass keine weitere Beschriftung diese Eigenschaft hat, kann mit Hilfe der erzeugenden Funktion ${\displaystyle x\mapsto (x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6})^{2}}$ und der eindeutigen Primfaktorzerlegung ${\displaystyle x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}=x(1+x)(1+x+x^{2})(1-x+x^{2})}$ in ${\displaystyle x}$ und Kreisteilungspolynome erbracht werden. Auch bei drei oder mehr Würfeln erhält man alle Lösungen, indem man ein oder mehrere Paare gewöhnlicher Würfel durch Sicherman-Würfel ersetzt.

Literatur

• Martin Gardner: Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers, W. H. Freeman & Co, New York (1989), ISBN 0-7167-1987-8
• Duane Broline: Renumbering the Faces of Dice, Mathematics Magazine 52 (1979), S. 312–315
• Joseph Gallian: Cyclotomic Polynomials and Nonstandard Dice, Discrete Mathematics 27 (1979), S. 245–259

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Sicherman Dice, WolframMathWorld (englisch)