Selbergsche Zetafunktion

Die Selbergsche Zetafunktion i​st eine Funktion a​us dem mathematischen Gebiet d​er harmonischen Analysis. Sie w​ird verwendet, u​m den Zusammenhang zwischen d​en Eigenwerten d​es Laplace-Operators u​nd dem Längenspektrum e​iner hyperbolischen Fläche z​u untersuchen.

Definition

Es sei ${\displaystyle S=\Gamma \backslash H^{2}}$ eine hyperbolische Fläche oder Orbifaltigkeit. Für eine einfache geschlossene Geodäte ${\displaystyle \gamma \subset S}$ bezeichne ${\displaystyle l(\gamma )}$ ihre Länge. Die Selbergsche Zetafunktion ${\displaystyle {\mathcal {Z}}_{\Gamma }\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} \cup \left\{\infty \right\}}$ wird durch meromorphe Fortsetzung der für ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)\gg 0}$ durch

${\displaystyle {\mathcal {Z}}_{\Gamma }(s)=\prod _{\gamma }\prod _{k=0}^{\infty }(1-e^{-l(\gamma )(s+k)})}$

gegebenen Funktion definiert.

Nullstellen

Die Nullstellen der Selbergschen Zetafunktion sind diejenigen Zahlen ${\displaystyle s_{j}}$, die die Gleichung

${\displaystyle s_{j}(1-s_{j})=\lambda _{j}}$

für e​inen der Eigenwerte

${\displaystyle 0=\lambda _{0}<\lambda _{1}<\lambda _{2}<\ldots }$

des Laplace-Operators auf ${\displaystyle S}$ erfüllen.

Mayerscher Transfer-Operator

Für ${\displaystyle \Gamma =SL(2,\mathbb {Z} )}$ hat man die Identität

${\displaystyle {\mathcal {Z}}_{\Gamma }(s)=\det(1-{\mathcal {L}}_{s}^{2})}$.

Dabei bezeichnet ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{s}\colon V\to V}$ den Mayerschen Transferoperator auf dem Raum ${\displaystyle V}$ der Funktionen, die auf der offenen Kreisscheibe mit Mittelpunkt ${\displaystyle 1}$ und Radius ${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$ holomorph und auf ihrem Rand stetig sind. Er ist definiert durch

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{s}\phi (z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{2s}}}\,\phi \left({\frac {1}{z+n}}\right)}$.

Literatur

• U. Bunke, M. Olbrich: Selberg Zeta and Theta Functions. A differential operator approach. Vol. 83 of Mathematical Research (Akademie-Verlag, 1995).
• d'Hoker, E. und Phong, D. H.: Multiloop Amplitudes for the Bosonic Polyakov String. Nucl. Phys. B 269, 205–234, 1986.
• d'Hoker, E. und Phong, D. H.: On Determinants of Laplacians on Riemann Surfaces. Commun. Math. Phys. 104, 537–545, 1986.
• Fried, D.: Analytic Torsion and Closed Geodesics on Hyperbolic Manifolds. Invent. Math. 84, 523–540, 1986.
• Selberg, A.: Harmonic Analysis and Discontinuous Groups in Weakly Symmetric Riemannian Spaces with Applications to Dirichlet Series. J. Indian Math. Soc. 20, 47–87, 1956.
• Voros, A.: Spectral Functions, Special Functions and the Selberg Zeta Function. Commun. Math. Phys. 110, 439–465, 1987.

Weblinks

• Selberg Zeta Function (Math World)
• Don Zagier: New points of view on the Selberg zeta function
• Ulrich Bunke: Theta and Selberg zeta functions