Schriftliche Division
Die schriftliche Division ist ein Algorithmus, der verwendet wird, um auf dem Papier eine Zahl durch eine andere zu teilen. Um die schriftliche Division ausführen zu können, benötigt man das Einmaleins und die schriftliche Subtraktion.
Die praktische Bedeutung des Verfahrens ist, seit Taschenrechner allgemein verfügbar sind, nur noch gering. Trotzdem wird diese Rechenweise bereits im Elementarunterricht gelehrt: Kinder lernen sie meist in der 4. Jahrgangsstufe der Grundschule, allerdings meist nur für einstellige Divisoren. Die Berechtigung dieses Lehrstoffs wird kontrovers diskutiert.[1]
Algorithmus
Beispiele
Division mit Rest
Wir teilen 351 durch 4.
351 ist der Dividend, 4 ist der Divisor.
351 : 4 =
Wir beginnen von links aus zu suchen, welchen möglichst kurzen Abschnitt des Dividenden wir durch den Divisor teilen können.
Drei lässt sich nicht durch 4 teilen. Der erste Abschnitt, den wir durch 4 teilen können, sind die Ziffern 35 ganz links.
35 durch 4 ist 8, denn 8 mal 4 ist 32, und es bleibt der Rest 35 − 32 = 3.
351 : 4 = 8
32
--
3
Nun ziehen wir die nächste Ziffer des Dividenden, die 1, zum Rest hinunter, das ergibt 31.
Jetzt wird die 31 durch 4 geteilt.
Das ergibt 7, denn 7 mal 4 ist 28, und es bleibt der Rest 31 − 28 = 3.
351 : 4 = 87
32
--
31
28
--
3
Alle Ziffern des Dividenden sind nun verarbeitet. Wir sind fertig:
351 : 4 = 87 Rest 3
32
--
31
28
--
3
Anmerkungen zur Schreibweise
Das Ergebnis „87 Rest 3“ ist keine Zahl, und „351 : 4 = 87 Rest 3“ ist im mathematischen Sinne auch keine Gleichung. Das kann man daran erkennen, dass auch 438 : 5 = 87 Rest 3 ist, aber 351 : 4 ist nicht dieselbe rationale Zahl wie 438 : 5.
Die Rechnungen zeigen nur, dass bei beiden Aufgaben ein unteilbarer Rest von 3 Ganzen übrigbleibt. Da im ersten Fall durch 4 geteilt werden soll, ergeben diese 3 Viertel; im zweiten Fall dagegen wird durch 5 geteilt, also bleiben 3 Fünftel. Die Gleichungen und zeigen den Unterschied.
Um das Verfahren der schriftlichen Division mit Rest auch ohne Bruchrechnung mathematisch korrekt durchführen zu können, wird die Divisionsaufgabe zuweilen so geschrieben:
351 = 4 · …
Das Rechenverfahren geht dann wie oben beschrieben, und der Rest wird mit einem Pluszeichen angefügt:
351 = 4 · 87 + 3
Beim zweiten Beispiel ergibt sich, ebenso korrekt,
438 = 5 · 87 + 3
So geschrieben, befindet sich das in der Grundschule gelehrte Rechenverfahren der Division mit Rest im Einklang mit dem, was Zahlentheorie und andere Bereiche der höheren Mathematik darunter verstehen.
→ Hauptartikel: Division mit Rest
Mehrstelliger Divisor
Ist der Divisor größer als 10, so reicht das kleine Einmaleins nicht aus, um die jeweils nächste Stelle des Ergebnisses zu bestimmen. Wir finden den passenden Zahlenwert durch Schätzen und Probieren:
13063:32 = … -- 1:32 und 13:32 "gehen" nicht. 130:32 ist sicher mehr als 3:
13063:32 = 3… -- 3·32 rechnen wir im Kopf: 96 -- 34 -- der Rest ist 34 und damit größer als der Divisor; also geht 32 sogar 4-mal in 130!
Wir haben also zu niedrig geschätzt, streichen die letzten beiden Zeilen und beginnen neu:
13063:32 = 4… -- 4·32 rechnen wir im Kopf oder wie bei der schriftlichen Multiplikation: 4·2=8; 4·3=12; 128 --- 26 -- der Rest ist 2; die "heruntergeholte" 6 gibt 26; 26:32 "geht" nicht; wir schreiben im Ergebnis eine Null an:
13063:32 = 40…
Nun können wir noch "0·32=0" rechnen und die Rechnung so fortführen:
26 0 -- 26
Der geübte Rechner sieht aber, dass sich an der 26 nichts ändert, und holt – nachdem er die 0 angeschrieben hat! – sofort die 3 herunter:
13063:32 = 40… 128 --- 263 -- 263:32 schätzen wir auf ungefähr 8. Wir rechnen 8·2=16, Merkzahl 1, 8·3=24, 24+1=25; also: 256 256
Es bleibt ein Rest von 7, und die fertige Rechnung sieht so aus:
13063:32 = 408 Rest 7
128
---
263
256
---
7
- oder , oder , wie oben erläutert.
Division mit Nachkommastellen
Wenn wir anstatt einer ganzen Zahl und eines Restes als Ergebnis lieber einen Dezimalbruch haben wollen, schreiben wir hinter das bisherige Resultat ein Komma und rechnen einfach weiter wie bisher, wobei wir an den jeweils letzten Rest immer eine Null rechts anhängen.
950 : 4 = 237,5
8
-
15
12
--
30
28
--
20 -- hier bleibt ein Rest von 2; es wird aber kein Rest angeschrieben, sondern ein Komma; dann wird eine 0 "heruntergeholt".
20 - 20:4 geht 5-mal…
--
0 -- …und zwar ohne Rest, deshalb ist die Rechnung hier zu Ende.
Division von Dezimalzahlen
Ist der Dividend eine Dezimalzahl (und der Divisor eine natürliche Zahl), so wird zunächst geprüft, ob sein ganzzahliger Teil sich durch den Divisor teilen lässt. Ist dies der Fall, so dividiert man zunächst wie gewohnt. Sobald vom Dividenden eine Ziffer hinter dem Komma „herunterzuholen“ ist, wird im Ergebnis ein Komma gesetzt.
Ist der ganzzahlige Teil des Dividenden kleiner als der Divisor, so wird im Ergebnis eine Null angeschrieben und dahinter ein Komma. Dann werden die Nachkommastellen des Dividenden (eine nach der anderen!) „heruntergeholt“. Sooft das Ergebnis kleiner bleibt als der Divisor, wird eine weitere Null im Ergebnis angefügt. Danach verläuft die Rechnung wie oben beschrieben.
Beispiel:
1,8:5 = ?? ----- 1:5 „geht nicht“ - also: „0,...“ anschreiben und eine Nachkommastelle „herunterholen“:
1,8:5 = 0,?? ----- 18:5 „geht“, und zwar 3-mal: 1 5
1,8:5 = 0,3? ----- Der „Rest“ ist 3 — eine „unsichtbare“ 0 wird „heruntergeholt“. 1 5 --- 30 ----- 30:5 „geht“ 6-mal, und zwar ohne Rest; deshalb ist die Rechnung jetzt zu Ende:
1,8:5 = 0,36 1 5 --- 30 30 -- 0
Ist (auch) der Divisor eine Dezimalzahl, so muss zunächst das Komma verschoben werden, und zwar
- so, dass der Divisor eine ganze Zahl wird,
- gleichsinnig — das heißt in diesem Falle beim Dividenden und beim Divisor nach rechts, und
- um gleich viele Stellen.
Hat der Dividend weniger Nachkommastellen als der Divisor, so müssen beim Dividenden entsprechend viele Nullen angefügt werden.
Danach wird dividiert, wie oben beschrieben.
4 : 1,6 = 40 : 16 = 2,5 32 -- 80 80 -- 0
Division, die einen periodischen Dezimalbruch ergibt
Wir teilen 1307 durch 15.
1307 : 15 = 8 -- 13:15 "geht nicht"; 130:15 schätzen wir auf 8; wir rechnen 5·8=40, 1·8=8, plus Merkzahl 4 also 12:
120 -- Die Schätzung war also richtig, und es bleibt ein Rest von 10; die 7 wird "heruntergezogen":
---
107 -- Da 120=8·15 ist, geht die 15 in 107 offenbar 7-mal; 7·15 rechnen wir ähnlich wie eben…
…und haben somit bisher folgende Rechnung:
1307 : 15 = 87
120
---
107
105
---
2
Nun sind keine weiteren Stellen mehr im Dividenden übrig – es kommt das Komma an die bisherige Lösung, und wir ergänzen den Rest 2 mit einer 0. 20:15 ist offensichtlich 1, mit einem Rest von 5:
1307 : 15 = 87,1
120
---
107
105
---
20
15
--
5
Die nächste 0 an den Rest hängen ergibt 50. 50 durch 15 ist 3, der Rest ist wiederum 5.
1307 : 15 = 87,13
120
---
107
105
---
20
15
--
50
45
--
5
Nun ist zum zweiten Mal der Rest 5 herausgekommen. Weil immer nur noch 0 "herunterzuholen" ist, wiederholt sich der Ablauf; und im Ergebnis entsteht eine unendliche Folge von 3en.
Das Ergebnis ist ein unendlicher Dezimalbruch, und zwar, da die Dezimalstellen sich wiederholen, ein so genannter periodischer Dezimalbruch.
1307 : 15 = 87,1333…
Hierfür schreibt man gewöhnlich und liest: "1307 : 15 = 87 Komma 1 Periode 3"
Einstelliger Divisor
Da es etwas umständlich ist, immer erst zu multiplizieren und das Produkt dann noch von der oben stehenden Zahl zu subtrahieren, kann man sich auch angewöhnen, das Ganze in einem Aufwasch zu erledigen. Das spart Platz und Zeit:
Wir nehmen wieder das Beispiel vom Anfang:
351 : 4 =
Zuerst gehen wir im Dividenden von links nach rechts und prüfen, ob die Zahl durch den Divisor zu teilen ist. Dann machen wir an dieser Stelle ein Häkchen hin.
35'1 : 4 = ((Der Apostroph ist eine Hilfe, damit man
den ersten Teilschritt besser sieht.))
Die 4 geht 8-mal in die 35.
35'1 : 4 = 8 Hier sagt oder denkt man jetzt: 8 mal 4 ist 32, plus 3 ist 35. Nur die 3 wird hingeschrieben: 35'1 : 4 = 8 3 nächste Stelle 1 herab: 35'1 : 4 = 8 3 1
Die 4 geht 7-mal in die 31.
35'1 : 4 = 87 7 mal 4 ist 28, plus 3 ist 31
3 1
3 - das ist der Rest
Mehrstelliger Divisor
Mit etwas Übung lässt sich diese verkürzte Schreibweise auch bei mehrstelligen Divisoren durchführen. Die (halbschriftliche) Multiplikation und die Subtraktion werden dabei miteinander verschränkt.
Wir zeigen dies wieder an dem oben schon verwendeten Beispiel:
13063:32 =
oder, mit dem Hilfs-Apostroph:
130'63:32 = 4…
Wir haben nun 4·32 zu rechnen und das Ergebnis von 130 zu subtrahieren. Dazu rechnen wir 4·2 = 8, denken uns diese 8 unter der Null von 130 angeschrieben, sagen (oder denken) 8 plus 2 ist 10, schreiben die 2 unter die 0 und merken uns die „geborgte“ 1:
130'63:32 = 4… 2 - 1 "geliehen"
Nun wird die Multiplikation fortgeführt mit 4·3 = 12; die "geborgte" 1 ist zu addieren, also 13. 13 plus 0 ist 13. Diese 0 muss nicht hingeschrieben werden. Wenn die 6 "heruntergeholt", im Ergebnis eine 0 angeschrieben und auch die 3 "heruntergeholt" ist, steht auf dem Papier nur:
130'63:32 = 40 2 63
Da 263:32 acht ergibt, ist nun 8·32 zu rechnen und dies gleichzeitig von 263 zu subtrahieren:
8·2=16, 16 plus 7 =23. Die 7 wird angeschrieben; "geborgt" sind diesmal 2:
130'63:32 = 408
2 63
7
Die Multiplikation wird fortgeführt mit 8·3 = 24, mit den "geborgten" 2 also 26; 26 plus 0 = 26. Die 0 muss auch hier nicht angeschrieben werden. Bei "Division mit Rest" ist die Rechnung hier zu Ende. Verzichtet man auf den Apostroph, so steht da sehr kurz;
13063:32 = 408 Rest 7
263
7
Alternative Algorithmen
Im englischsprachigen Raum findet die letzten Jahre in Grundschulen die "Big 7 Division" mit dem Scaffolding Algorithmus häufigere Verwendung und Erwähnung, da sie die schriftliche Division auch in einfachen Dezimalschritten oder beliebigen Vielfachen des Divisors ermöglicht und das Prinzip der wiederholten Subtraktion besser verständlich macht. Die "Big 7" meint hierbei nur die Trennlinien gleich einer großen 7 auf dem Papier.[2]
In der originalen Schreibweise steht der Divisor vor dem zu teilenden Dividenden, für die Aufgabe 4720:36 zum Beispiel:
┌────────────┐ 36│ 4720 │ −3600 │ 100 =1120 │ − 360 │ 10 = 760 │ − 360 │ 10 = 400 │ − 360 │ 10 = 40 │ − 36 │ 1 ---------------------- = 4 131 R4/36 (die 36 ist der Divisor von oben, R4 das subtrahierte Ergebnis der linken Spalte, 131 der addierten rechten Spalte)
Die 100er, 10er, und 1er Stellen werden addiert, das Ergebnis ist 131 Rest 4 beziehungsweise korrekterweise als Bruch 4/36, da der Rest immer der Zähler ist, der erst mit dem Nenner (hier der Divisor) für die Nachkommastellen einen Sinn ergibt.
Für die Verständlichkeit sollte daher der Rest immer als Bruch dezimal oder in der „Zähler-Bruchstrich-Nenner-Schreibweise“ ausgeschrieben, optional auch ausgerechnet werden und auf das Ergebnis addiert.
Der Rest beträgt hier 4/36, mit der obigen Methode kann man den Rest in einem zweiten Schritt genauso ausrechnen wie die Stellen vor dem Komma, einfacher ist jedoch schon bei der ersten Rechnung, einfach Nullen in der Anzahl der nachher gewünschten ausgerechneten Kommastellen, an den Dividenden, vor der Rechnung, hinten anzuhängen. Das heißt, wir rechnen nicht 4720:36, sondern einfach z. B. 4720000:36, um im Ergebnis auch drei weitere Kommastellen zu erhalten.
Wir subtrahieren im ersten Schritt demnach nicht 3600, dies würde länger dauern, sondern ganze 3600000, und notieren in die rechte Spalte 100000, denn 36 · 100000 beträgt auch 3600000. Der Rest am Ende der Rechnung kann dann ignoriert werden.
Optional bietet sich je nach Aufgabe auch eine Multiplikation mit 2 oder sonstigen Vielfachen des Divisors an. Dies ist die Stärke der Big 7 Division, da sie eine bessere Näherungsabschätzung auch mit weniger Rechenschritten belohnt. Wichtig bleibt jedoch die Fähigkeit zum Subtrahieren, so z. B. nach dem Ergänzungsverfahren.
Weblinks
Einzelnachweise
- Siehe zum Beispiel Peter Bender, Uni Paderborn (PDF; 87 kB) - mit weiteren Literaturangaben
- Algorithms for Multiplying and Dividing Whole Numbers. (PDF) 21. September 2009, abgerufen am 14. Juli 2015 (englisch).