Schlichtes Gebiet

Ein schlichtes Gebiet, Normalbereich o​der Normalgebiet i​st ein mathematisches Objekt a​us der Analysis. Es handelt s​ich um e​in für d​ie Integralrechnung einfach z​u handhabendes Gebiet.

Veranschaulichung eines Normalgebiets bzgl. x

Definition

Als schlichtes Gebiet w​ird definiert

${\displaystyle G=\lbrace (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\;|\;a<x<b,\;g(x)<y<h(x)\rbrace }$

mit (${\displaystyle g,h\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} }$ stetig) und heißt schlicht über der ${\displaystyle x}$-Achse oder A) ${\displaystyle G}$ ist Normalbereich bezüglich ${\displaystyle x}$. Falls die Grenzen von ${\displaystyle y}$ fest und die Grenzen von ${\displaystyle x}$ stetige Funktionen über ${\displaystyle G}$ sind, dann heißt das schlichte Gebiet schlicht über der ${\displaystyle y}$-Achse oder B) ${\displaystyle G}$ ist Normalbereich bezüglich ${\displaystyle y}$. Gelten für ${\displaystyle G}$ die Eigenschaften A) und B), so nennt man ${\displaystyle G}$ einen Normalbereich. Analog gilt das im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, indem jeweils jede Koordinate einmal in festen Grenzen betrachtet wird und alle anderen Koordinatengrenzen als Graph stetiger Funktionen.

Erläuterung

Es handelt sich um eine Teilmenge der reellen Zahlenebene. Um sie zu bestimmen, benötigt man zwei reelle Zahlen ${\displaystyle a,b}$ und zwei stetige Funktionen ${\displaystyle g,h}$, die von dem abgeschlossenen Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ nach ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ abbilden.

Dann ist das schlichte Gebiet definiert als diejenigen Zahlenpaare ${\displaystyle (x,y)}$, für die gilt:

${\displaystyle a<x<b}$ und ${\displaystyle g(x)<y<h(x).}$

Fläche

Für gewöhnlich ist eine der ersten Anwendungen der Integralrechnung in der Schule die Berechnung der Fläche eines schlichten Gebietes. Die Fläche des Gebietes ${\displaystyle G=\lbrace (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\;|\;a<x<b,\;g(x)<y<h(x)\rbrace }$ errechnet sich durch folgendes Integral:

${\displaystyle \int _{a}^{b}(h(x)-g(x))dx}$.

Kompliziertere Gebiete s​etzt man anschließend o​ft aus schlichten Gebieten zusammen.

Literatur

• Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis Teil 2, Teubner, Stuttgart, 1992, ISBN 3-519-12232-4