Satz von Young (Fourier-Koeffizienten)

Der Satz v​on Young über Fourier-Koeffizienten i​st ein klassischer Lehrsatz d​es mathematischen Teilgebiets d​er Harmonischen Analyse. Er g​eht auf d​en englischen Mathematiker William Henry Young zurück u​nd behandelt d​ie Frage, welche Nullfolgen a​ls Folgen v​on Fourier-Koeffizienten Lebesgue-integrierbarer reeller Funktionen auftreten. Wie d​er Mathematiker Jürgen Elstrodt i​n seinem Lehrbuch Maß- u​nd Integrationstheorie anmerkt, g​ilt diese Frage a​ls ein schwieriges Problem i​n der Theorie d​er Fourier-Reihen. Der erwähnte Satz s​ei einer d​er schönsten Sätze v​on Young.[1][2]

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt s​ich folgendermaßen formulieren:[1]

Ist ${\displaystyle \left(a_{n}\right)_{n=1,2,3,\ldots }}$ eine konvexe Nullfolge positiver reeller Zahlen,

so ist die daraus gebildete Reihe ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}a_{n}\cos {nt}{\bigr )}}$ die Fourierreihe einer Lebesgue-integrierbaren geraden Funktion,

d.h., es gibt eine Lebesgue-integrierbare gerade Funktion ${\displaystyle f\colon [-\pi ,\pi ]\to \mathbb {R} }$ derart,

dass für ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$ stets die Gleichung ${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\bigl (}f(t)\cos {nt}{\bigr )}\mathrm {d} t}$ erfüllt ist.

Erläuterungen

• In der Folgenlehre benutzt man einen Delta-Operator, welcher so wirkt, dass durch ihn einer Folge ${\displaystyle \left(z_{n}\right)_{n=1,2,3,\ldots }}$ von reellen Zahlen (bzw. einer Folge von komplexen Zahlen oder allgemeiner einer Folge in einer abelschen Gruppe) die Folge der sukzessiven Differenzen zugeordnet wird. Dabei geht ${\displaystyle \left(z_{n}\right)_{n=1,2,3,\ldots }}$ in die neue Folge ${\displaystyle \left(\Delta {z_{n}}\right)_{n=1,2,3,\ldots }=\left(z_{n}-z_{n+1}\right)_{n=1,2,3,\ldots }}$ über.
• Die zweifache Anwendung des Delta-Operators auf die Folge ${\displaystyle \left(z_{n}\right)_{n=1,2,3,\ldots }}$ ergibt die weitere Folge ${\displaystyle \left({\Delta }^{2}{z_{n}}\right)_{n=1,2,3,\ldots }=\left(z_{n}-2z_{n+1}+z_{n+2}\right)_{n=1,2,3,\ldots }}$.
• Man nennt eine Folge reeller Zahlen eine konvexe Folge, wenn für ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$ stets die Ungleichung ${\displaystyle {\Delta }^{2}{z_{n}}\geq 0}$ erfüllt ist.[3]
• Die genannte Konvexitätsbedingung bedeutet, dass für ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$ stets die Ungleichung ${\displaystyle z_{n+1}\leq {\frac {z_{n}+z_{n+2}}{2}}}$ besteht.

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie (= Springer-Lehrbuch - Grundwissen Mathematik). 7., korrigierte und aktualisierte Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg (u.   a.) 2011, ISBN 978-3-642-17904-4.
• Živorad Tomovski: Convergence and integrability for some classes of trigonometric series. In: Dissertationes Mathematicae (Rozprawy Matematyczne). Band 420, 2003 (MR2030824).
• Antoni Zygmund: Trigonometric Series. Volumes I and II. Reprinting of the 1968 Version of the Second Edition. 2. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge, London, New York, Melbourne 1977, ISBN 0-521-07477-0 (MR0617944).

Einzelnachweise

1. Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2011, S. 138
2. Živorad Tomovski: Convergence and integrability for some classes of trigonometric series., Dissertationes Mathematicae 420, S. 1 ff, S. 6
3. Antoni Zygmund: Trigonometric Series. Vol. I. 1977, S. 93 ff