Satz von Vitali-Carathéodory

Der Satz v​on Vitali-Carathéodory i​st ein mathematischer Lehrsatz, d​er im Übergangsfeld zwischen d​em Gebiet d​er Analysis u​nd dem Gebiet d​er Maßtheorie angesiedelt i​st und d​en der bekannte Analytiker Walter Rudin d​en beiden Mathematikern Giuseppe Vitali u​nd Constantin Carathéodory zurechnet. Er zählt – zusammen m​it dem Satz v​on Lusin – z​u den Sätzen über Stetigkeitseigenschaften messbarer reellwertiger Funktionen a​uf gewissen Maßräumen über lokalkompakten Hausdorff-Räumen.[1]

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt s​ich formulieren w​ie folgt:[2]

Gegeben sei ein lokalkompakter Hausdorff-Raum ${\displaystyle X}$, versehen mit der borelschen σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$ sowie einem von innen wie von außen regulären Borel-Maß

${\displaystyle \mu \colon {\mathcal {B}}(X)\rightarrow [0,\infty ]}$.

Weiter gegeben sei eine ${\displaystyle \mu }$-integrierbare reellwertige Funktion

${\displaystyle f\colon X\rightarrow \mathbb {R} }$.

Dann gilt:

Zu jeder reellen Zahl ${\displaystyle \epsilon >0}$ gibt es ein Paar reellwertiger Funktionen

${\displaystyle u,v\colon X\rightarrow \mathbb {R} }$

mit folgenden Eigenschaften:

(1) ${\displaystyle u}$ ist oberhalbstetig und beschränkt nach oben.

(2) ${\displaystyle v}$ ist unterhalbstetig und beschränkt nach unten.

(3) ${\displaystyle u(x)\leq f(x)\leq v(x)\;\;(\forall x\in X)}$ .

(4) ${\displaystyle {\int _{X}}(v-u)\;\mathrm {d} \mu \;<\epsilon }$ .

Quellen und Hintergrundliteratur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie (= Springer-Lehrbuch – Grundwissen Mathematik). 7., korrigierte und aktualisierte Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg (u. a.) 2011, ISBN 978-3-642-17904-4.
• Walter Rudin: Reelle und Komplexe Analysis. 2., verbesserte Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, Berlin 2009, ISBN 978-3-486-59186-6.

Einzelnachweise

1. Walter Rudin: Reelle und komplexe Analysis. 2009, S. 65 ff.
2. Rudin, op. cit., S. 66