Satz von Ulam

Der Satz v​on Ulam i​st ein mathematischer Lehrsatz a​uf dem Teilgebiet d​er Maßtheorie, d​er auf d​en Mathematiker Stanisław Marcin Ulam zurückgeht. Der Satz behandelt spezielle Eigenschaften v​on Borelmaßen a​uf polnischen Räumen.[1]

Formulierung des Satzes

Der Satz v​on Ulam lässt s​ich angeben w​ie folgt:[1]

Sei ${\displaystyle X}$ ein polnischer Raum und sei weiter ${\displaystyle \mu \colon {\mathfrak {B}}(X)\to [0,\infty ]}$ ein Borelmaß auf der σ-Algebra der Borelmengen von ${\displaystyle X}$ .

Dann gilt:

(1) ${\displaystyle \mu }$ ist ein reguläres Maß .

(2) ${\displaystyle \mu }$ ist ein moderates Maß in dem Sinne,

dass ${\displaystyle X}$ eine Darstellung als abzählbare Vereinigung der Form[2]

${\displaystyle X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }U_{n}}$

hat, in der jedes ${\displaystyle U_{n}\;(n\in \mathbb {N} )}$ eine offene Menge von ${\displaystyle X}$ mit ${\displaystyle \mu (U_{n})<\infty }$ ist.

Verschärfung

Wie Paul-André Meyer zeigte, lässt sich der Satz von Ulam noch erheblich verschärfen, indem man an die Stelle der polnischen Räume die sogenannten Suslinräume treten lässt. Dabei ist ein Suslinraum ein Hausdorffraum ${\displaystyle S}$ derart, dass dazu ein polnischer Raum ${\displaystyle X}$ mit einer stetigen Surjektion ${\displaystyle f\colon X\to S=f(X)}$ existiert.

Der Satz v​on Paul-André Meyer besagt dann:[1]

Jedes Borelmaß ${\displaystyle \mu \colon {\mathfrak {B}}(S)\to [0,\infty ]}$ auf einem Suslinraum ${\displaystyle S}$ ist regulär und moderat .

Dass dieser Satz den ulamschen Satz verschärft, ergibt sich angesichts der Tatsache, dass jeder polnische Raum ${\displaystyle X}$ unter der identischen Abbildung stets auch ein Suslinraum ist.

Quellen

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie (= Springer-Lehrbuch - Grundwissen Mathematik). 7., korrigierte und aktualisierte Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg (u.   a.) 2011, ISBN 978-3-642-17904-4.
• John C. Oxtoby, S. M. Ulam: On the existence of a measure invariant under a transformation. In: Ann. of Math. (2). Band 40, 1939, S. 560–566, JSTOR:1968940. MR0000097
• John C. Oxtoby: Invariant measures in groups which are not locally compact. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 60, 1946, S. 215–237, JSTOR:1990145. MR0018188

Einzelnachweise

1. Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2011, S. 320–323
2. Die durch eine abzählbare Vereinigung entstehende Vereinigungsmenge ist nicht notwendig selbst abzählbar.