Satz von Segre (Diophantische Approximation)

Der Satz v​on Segre i​st ein n​ach Beniamino Segre benannter Lehrsatz a​us dem mathematischen Gebiet d​er Zahlentheorie über d​ie Approximierbarkeit irrationaler Zahlen d​urch rationale Zahlen. Er verallgemeinert d​en Satz v​on Hurwitz, d​er wiederum d​en Dirichletschen Approximationssatz verbessert.

Satz von Segre

Für jede beliebige reelle Zahl ${\displaystyle r\geq 0}$ gilt die folgende Aussage:

Für jede irrationale Zahl ${\displaystyle \alpha }$ existieren unendlich viele voll gekürzte Brüche ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$, welche

${\displaystyle -{\frac {1}{{\sqrt {1+4r}}\cdot q^{2}}}<{\frac {p}{q}}-\alpha <{\frac {r}{{\sqrt {1+4r}}\cdot q^{2}}}}$

erfüllen.

Güte der Obergrenze

Für ${\displaystyle r=1}$ erhält man den Satz von Hurwitz und es ist bekannt, dass die dort vorkommende Konstante ${\displaystyle {\sqrt {1+4r}}={\sqrt {5}}}$ scharf ist, also im Allgemeinen nicht zu ersetzen durch eine bessere Konstante. Für eine einzelne Zahl ${\displaystyle \alpha }$ kann es bessere Approximationen geben.

Auch für die anderen Zahlen der Form ${\displaystyle r={\frac {1}{n}}}$ mit ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ liefert der Satz von Segre die bestmögliche Konstante. Es wird jedoch vermutet, dass für andere Werte von ${\displaystyle r}$ die Konstante nicht scharf ist.[1]

Literatur

• B. Segre: Lattice points in infinite domains and asymmetric Diophantine approximations. Duke Math. J. 12, (1945). 337–365.
• Ivan Niven: On asymmetric Diophantine approximations. Michigan Math. J. 9 (1962) 121–123.
• P. Szüsz: On a theorem of Segre. Acta Arith. 23 (1973), 371–377.

Weblinks

• Segre's Theorem (Mathworld)

Einzelnachweise

1. Jing Cheng Tong: A conjecture of Segre on Diophantine approximation. Monatsh. Math. 112 (1991), no. 2, 141–147.