Satz von Sárközy

Der Satz v​on Sárközy i​st ein Teilbeweis für Erdős's Quadratfreiheits-Vermutung. Diese besagt, d​ass der mittlere Binomialkoeffizient

${\displaystyle {2n \choose n}}$

für ${\displaystyle n>4}$ niemals quadratfrei ist.[1] András Sárközy bewies, dass ein ${\displaystyle n_{0}}$ existiert, so dass dies für alle ${\displaystyle n>n_{0}}$ zutrifft, was als Satz von Sárközy bekannt ist.[2] Er zeigte weiters 1985, dass

${\displaystyle \ln s(n)\approx \left({\sqrt {2}}-2\right)\zeta \left({\frac {1}{2}}\right){\sqrt {n}}}$,

wobei ${\displaystyle \zeta }$ die Riemannsche Zetafunktion bezeichnet sowie ${\displaystyle s(n)}$ den quadratischen Anteil von ${\displaystyle n}$, das heißt, den größten quadratischen Teiler. Die Zahl ${\displaystyle 2^{8000}}$ konnte von Andrew Granville und Olivier Ramaré als obere Schranke für ${\displaystyle n_{0}}$ ermittelt werden (1996). In Verbindung mit einem früheren Beweis der Erdős'schen Vermutung für ${\displaystyle 4<n<2^{774840978}}$ war diese somit allgemein bewiesen.

Einzelnachweise

1. Eric Weisstein: Erdős Squarefree Conjecture. In: MathWorld (englisch).
2. Eric Weisstein: Sárkőzy's Theorem. In: MathWorld (englisch).