Satz von Routh

Der Satz v​on Routh, benannt n​ach Edward Routh, i​st ein mathematischer Satz z​ur Geometrie d​es Dreiecks. Er m​acht folgende Aussage über d​en Flächeninhalt v​on Dreiecken (siehe Grafik):

ABC sei ein Dreieck mit Flächeninhalt ${\displaystyle A_{ABC}}$ (äußeres Dreieck in der Grafik). Ferner seien F, D und E Punkte auf den Seiten [AB], [BC] bzw. [AC]. Die Teilverhältnisse seien:

${\displaystyle {\overline {AF}}/{\overline {BF}}=r}$

${\displaystyle {\overline {BD}}/{\overline {CD}}=s}$

${\displaystyle {\overline {CE}}/{\overline {AE}}=t}$

Mit I, G u​nd H s​eien die Schnittpunkte v​on AD u​nd CF, AD u​nd BE bzw. BE u​nd CF bezeichnet.

Dann g​ilt für d​en Flächeninhalt v​on Dreieck GHI (inneres Dreieck i​n der Grafik):

${\displaystyle A_{GHI}={\frac {(rst-1)^{2}}{(st+s+1)(rt+t+1)(rs+r+1)}}A_{ABC}.}$

Der Satz von Ceva kann als Spezialfall des Satzes von Routh aufgefasst werden. Schneiden sich nämlich die Transversalen ${\displaystyle [AD]}$, ${\displaystyle [BE]}$ und ${\displaystyle [CF]}$ in einem Punkt, so ist der Flächeninhalt des Dreiecks ${\displaystyle GHI}$ gleich 0. Daraus kann ${\displaystyle rst=1}$ gefolgert werden, also die Aussage des Satzes von Ceva.

Literatur

• H. S. M. Coxeter: Introduction to Geometry. 2. Auflage. Wiley, New York NY u. a. 1969, ISBN 0-471-18283-4, S. 211, 219–220.
• Ivan Niven: A New Proof of Routh’s Theorem. In: Mathematics Magazine, Band 49, Nr. 1 (Jan., 1976), S. 25–27 (JSTOR 2689876)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Routh’s Theorem. In: MathWorld (englisch).
• Routh’s Formula by Cross Products – Herleitung über Vektor- und Matrizenrechnung