Satz von Roussarie-Thurston

In d​er Differentialtopologie i​st der Satz v​on Roussarie-Thurston e​in Lehrsatz a​us der Theorie d​er Blätterungen.

Der Satz stammt v​on Robert Roussarie[1] u​nd William Thurston.[2][3]

Aussage

Sei ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ eine straffe Blätterung einer 3-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle S\subset M}$ eine inkompressible Fläche. Dann gibt es eine Isotopie, nach der das Bild von ${\displaystyle S}$ entweder in einem Blatt von ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ liegt oder die tangentialen Berührpunkte mit Blättern von ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ Sattelpunkte sind.

Anwendungen

Nach der durch den Satz von Roussarie-Thurston gegebenen Isotopie in eine Fläche mit Sattelsingularitäten sei ${\displaystyle I_{p}}$ und ${\displaystyle I_{n}}$ die Anzahl der positiven und negativen Sattelsingularitäten. Dann gelten für die Euler-Charakteristik ${\displaystyle \chi (S)}$ der Fläche und die Euler-Klasse ${\displaystyle e(T{\mathcal {F}})}$ des Tangentialbündels der Blätterung die Gleichungen

${\displaystyle I_{p}+I_{n}=-\chi (S)}$,

${\displaystyle I_{n}-I_{p}=e(T{\mathcal {F}})\cap \left[S\right]}$.

Insbesondere folgt

${\displaystyle \vert e(T{\mathcal {F}})\cap \left[S\right]\vert \leq \Vert \left[S\right]\Vert }$,

wobei ${\displaystyle \Vert \left[S\right]\Vert }$ die Thurston-Norm der Homologieklasse von ${\displaystyle S}$ bezeichnet.

Für die duale Thurston-Norm der Euler-Klasse einer straffen Blätterung gilt also stets ${\displaystyle \Vert e(T{\mathcal {F}})\Vert \leq 1}$.

Literatur

• Kapitel 9.5 in A. Candel, L. Conlon: Foliations. II, Graduate Studies in Mathematics 60. Providence, RI: American Mathematical Society (2003)
• Kapitel 5.3 in D. Calegari: Foliations and the geometry of 3-manifolds, Oxford Mathematical Monographs; Oxford Science Publications. Oxford: Oxford University Press (2007)

Einzelnachweise

1. Roussarie, Plongements dans les variétés feuilletées et classification des feuilletages sans holonomie, IHES Pub. Math., Band 43, 1973, S. 101–142.
2. Thurston, Foliations of three-manifolds which are circle bundles, Dissertation, University of California, Berkeley 1972.
3. Thurston, A norm for the homology of three-manifolds, Memoirs Am. Math. Soc., Band 59, 1986, S. 99–130.