Satz von Poincaré (Gruppentheorie)

Zu d​en zahlreichen Resultaten, d​ie Henri Poincaré i​n verschiedenen Teilgebieten d​er Mathematik beigetragen hat, gehört i​n der Gruppentheorie e​in als Satz v​on Poincaré bezeichneter Lehrsatz, i​n dem Poincaré e​ine grundlegende Fragestellung z​u Indizes v​on Untergruppen behandelt.[1][2][3]

Formulierung

Der Satz lässt s​ich zusammengefasst formulieren w​ie folgt:[1][2][3]

Gegeben seien eine Gruppe ${\displaystyle G}$ und darin endlich viele Untergruppen ${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}\leq G\;(n\in \mathbb {N} )}$.

Dann gelten folgende Aussagen:

(i) ${\displaystyle (G\colon \bigcap _{i=1}^{n}{U_{i}})\leq \prod _{i=1}^{n}(G\colon U_{i})}$

(ii) Haben die ${\displaystyle U_{i}\;(i=1,\ldots ,n)}$ in ${\displaystyle G}$ sämtlich endlichen Index, so hat ihr Durchschnitt ${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}{U_{i}}}$ selbst endlichen Index.

Anmerkungen

• Die grundlegende Abschätzung bei (i) ergibt sich unmittelbar daraus, dass für zwei Untergruppen ${\displaystyle U_{1},U_{2}\leq G}$ und ${\displaystyle x\in G}$ jede ${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}}$-Nebenklasse die Gleichung ${\displaystyle \left(U_{1}\cap U_{2}\right)x={U_{1}}x\cap {U_{2}}x}$ erfüllt. Damit gewinnt man für den Fall ${\displaystyle n=2}$ sogleich die genannte Abschätzung, die sich dann auf den allgemeinen Fall durch vollständige Induktion ausdehnen lässt.[2]
• Unter gewissen Bedingungen gilt oben bei (i) sogar das Gleichheitszeichen. Liegen etwa zwei Untergruppen ${\displaystyle U_{1},U_{2}\leq G}$ vor, deren Indizes in ${\displaystyle G}$ beide endlich und dabei teilerfremd sind, so gilt sogar ${\displaystyle (G\colon U_{1}\cap U_{2})=(G\colon U_{1})\cdot (G\colon U_{2})}$.[2]

Literatur

• A. G. Kurosch: Gruppentheorie I. In deutscher Sprache herausgegeben von Dr. Reinhard Strecker (= Mathematische Lehrbücher und Monographien, I. Abteilung, Mathematische Lehrbücher. Band III/I). 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1970 (MR0266978).
• Kurt Meyberg: Algebra. Teil 1 (= Mathematische Grundlagen für Mathematiker, Physiker und Ingenieure.). Carl Hanser Verlag, München, Wien 1975, ISBN 3-446-11965-5 (MR0460010).
• Hans Schwerdtfeger: Introduction to Group Theory. Noordhoff International Publishing, Leyden 1976, ISBN 90-286-0495-2 (MR0435190).

Einzelnachweise

1. A. G. Kurosch: Gruppentheorie I. 1970, S. 42
2. Kurt Meyberg: Algebra. Teil 1. 1975, S. 50
3. Hans Schwerdtfeger: Introduction to Group Theory. 1976, S. 64