Satz von Phragmén-Lindelöf

Der Satz v​on Phragmén-Lindelöf (auch Prinzip v​on Phragmén-Lindelöf) i​st ein mathematischer Satz für analytische Funktionen, welcher d​as Maximumprinzip verallgemeinert. Es existieren verschiedene Varianten u​nd Verallgemeinerungen d​es Satzes (z. B. v​on Peter D. Lax für elliptische partielle Differentialgleichung).[1]

Das Theorem i​st nach Lars Phragmén u​nd Ernst Leonard Lindelöf benannt.

Satz von Phragmén-Lindelöf

Mit ${\displaystyle \mathrm {\partial } _{\infty }D}$ bezeichnet man den erweiterten Rand ${\displaystyle \mathrm {\partial } _{\infty }D:=\mathrm {\partial } D\cup \{\infty \}}$ einer Menge ${\displaystyle D}$.

Sei ${\displaystyle f(z)}$ holomorph auf einem einfach zusammenhängenden Raum ${\displaystyle D}$ und ${\displaystyle M}$ eine Konstante. Nehme an, es existiere eine auf ${\displaystyle D}$ holomorphe Funktion ${\displaystyle w(z)\neq 0}$ welche beschränkt auf ${\displaystyle D}$ ist. Falls der Rand ${\displaystyle \partial _{\infty }D=A\cup B}$ so dass[2]

1. für jedes ${\displaystyle a\in A}$, ${\displaystyle \limsup _{z\to a}|f(z)|\leq M}$.
2. für jedes ${\displaystyle b\in B}$ und ${\displaystyle r>0}$, ${\displaystyle \limsup _{z\to b}|f(z)||w(z)|^{r}\leq M}$.

Dann gilt für alle ${\displaystyle z\in D}$, dass ${\displaystyle |f(z)|\leq M}$.

Einzelnachweise

1. Peter D. Lax: A Phragmen-Lindelöf theorem in harmonic analysis and its application to some questions in the theory of elliptic equations. In: Comm. Pure Appl. Math., 10. 1957, S. 361–389.
2. John B. Conway: Functions of One Complex Variable. Hrsg.: Springer-Verlag. 1973, ISBN 978-0-387-90062-9, S. 134–135.