Satz von Olivier

Der Satz v​on Olivier i​st ein mathematischer Lehrsatz d​er Analysis, welcher a​uf eine Arbeit d​es Mathematikers Louis Olivier i​m zweiten Band d​es crelleschen Journals a​us dem Jahre 1827 zurückgeht. Der Satz g​ibt eine notwendige Bedingung für d​ie Konvergenz v​on Reihen, d​eren Glieder e​ine monoton fallende Folge positiver reeller Zahlen bilden, u​nd liefert d​abei eine Verschärfung d​es Nullfolgenkriteriums. Als direkte Anwendung d​es Satzes ergibt s​ich unter anderem d​ie Divergenz d​er harmonischen Reihe.[1][2]

Formulierung

Der Satz v​on Olivier lässt s​ich wie f​olgt formulieren:

Sei ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine monoton fallende Folge nichtnegativer reeller Zahlen und die zugehörige Reihe ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\ldots }$ sei konvergent, also

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}}<\infty }$.

Dann gilt

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{n\cdot a_{n}}=0}$,

das heißt, die Zahlenfolge ${\displaystyle (n\cdot a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ist eine Nullfolge.[3]

Beweis nach Konrad Knopp

Der Ansatz z​um Beweis d​es Satzes v​on Olivier ergibt s​ich aus d​em Cauchy-Kriterium für Reihen.

Ist nämlich ein beliebiges ${\displaystyle \varepsilon >0}$ vorgegeben, so setzt man zunächst ${\displaystyle {\varepsilon }_{0}={\tfrac {\varepsilon }{2}}}$ und findet dazu eine untere Schranke ${\displaystyle N=N({\varepsilon }_{0})}$ , so dass für beliebige ${\displaystyle n\;,\;p\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle n\;,\;p\geq N}$ stets die Ungleichung

${\displaystyle a_{p+1}+a_{p+2}+\ldots +a_{p+n}<{\varepsilon }_{0}}$

gilt.

Damit i​st wegen d​er vorausgesetzten Monotonieeigenschaft d​er Zahlenfolge zunächst

${\displaystyle n\cdot a_{p+n}<{\varepsilon }_{0}}$

und folglich

${\displaystyle 2n\cdot a_{p+n}<\varepsilon }$

gegeben.

Das aber bedeutet insbesondere, dass man für ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle n\geq N}$ stets

${\displaystyle 2n\cdot a_{N+n}<\varepsilon }$

und damit

${\displaystyle (N+n)\cdot a_{N+n}<\varepsilon }$

hat.

Als untere Schranke zu ${\displaystyle \varepsilon }$ wählt man nun ${\displaystyle N(\varepsilon )=2N}$  .

Damit ergibt sich nämlich für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle n\geq 2N}$ wegen ${\displaystyle n-N\geq N}$ und ${\displaystyle n=N+(n-N)}$ die Ungleichung

${\displaystyle n\cdot a_{n}=(N+(n-N))\cdot a_{N+(n-N)}<\varepsilon }$  .

Folglich ist ${\displaystyle (n\cdot a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Nullfolge.

Anmerkung

• Für

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n}}\;\;(n\in \mathbb {N} )}$

hat man

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{n\cdot a_{n}}=1}$  ,

was mit dem Satz von Olivier die Divergenz der harmonischen Reihe impliziert.

• Anhand der abelschen Reihe, welche

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n\cdot \ln(n)}}\;\;(n\in \mathbb {N} \;,\;n\geq 2)}$

als allgemeines Glied hat[4], sieht man, dass der Satz von Olivier lediglich eine notwendige, jedoch keine hinreichende Bedingung formuliert. Denn der abelschen Reihe liegt zwar eine monoton fallende Gliederfolge zugrunde und dabei ist

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{n\cdot a_{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\ln(n)}}=0}$  ,

aber dennoch folgt mit dem Verdichtungskriterium von Cauchy

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n\cdot \ln(n)}}=\infty }$[5][6]

Literatur

• Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Band 2). 5., berichtigte Auflage. Springer Verlag, Berlin / Göttingen / Heidelberg / New York 1964, ISBN 3-540-03138-3 (MR0183997).
• Herbert Meschkowski: Unendliche Reihen. 2., verbesserte und erweiterte Auflage. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim u. a. 1982, ISBN 3-411-01613-2 (MR0671586).
• Louis Olivier: Remarques sur les séries infinies et leur convergence. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Band 2, 1827, S. 31–44 (uni-goettingen.de).

Einzelnachweise und Anmerkungen

1. Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Band 2). 5., berichtigte Auflage. Springer Verlag, Berlin / Göttingen / Heidelberg / New York 1964, ISBN 3-540-03138-3, S. 125–126 (MR0183997).
2. Herbert Meschkowski: Unendliche Reihen. 2., verbesserte und erweiterte Auflage. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim u. a. 1982, ISBN 3-411-01613-2, S. 28–29 (MR0671586).
3. A. Ostrowski: Complex Function Theory. In: Collected Mathematical Papers, Vol. 5 XIII, Birkhäuser-Verlag, 1984, ISBN 3-7643-1510-5, S. 163; dort wird diese Aussage als Satz von Olivier bezeichnet
4. bei formaler Setzung von ${\displaystyle a_{1}=0}$
5. Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Band 2). 5., berichtigte Auflage. Springer Verlag, Berlin / Göttingen / Heidelberg / New York 1964, ISBN 3-540-03138-3, S. 121, 124 (MR0183997).
6. Herbert Meschkowski: Unendliche Reihen. 2., verbesserte und erweiterte Auflage. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim u. a. 1982, ISBN 3-411-01613-2, S. 26–27 (MR0671586).