Satz von Mercer

Der Satz von Mercer ist eine mathematische Aussage aus dem Teilgebiet der Funktionalanalysis. Er ist benannt nach dem Mathematiker James Mercer und besagt, dass der Integralkern eines positiven, selbstadjungierten Integraloperators als konvergente Reihe über seine Eigenwerte und Eigenvektoren dargestellt werden kann.

Aussage

Sei ${\displaystyle K}$ eine kompakte Teilmenge von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Sei weiterhin ${\displaystyle k\in C(K\times K)}$ eine stetige Funktion, für die die Bedingung ${\displaystyle k(s,t)={\overline {k(t,s)}}}$ für alle ${\displaystyle s,t\in K}$ gilt, so dass der durch ${\displaystyle T_{k}\colon L^{2}(K)\rightarrow L^{2}(K)}$ definierte Integraloperator

${\displaystyle (T_{k}(f))(\cdot )=\int _{K}k(\cdot ,t)f(t)\mathrm {d} t}$

selbstadjungiert ist. Seien außerdem ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots }$ die gemäß ihrer geometrischen Vielfachheit gezählten Eigenwerte des Integraloperators ${\displaystyle T_{k}}$ mit zugehörigen orthonormierten Eigenfunktionen ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},\ldots }$. Ist der Operator ${\displaystyle T_{k}}$ zusätzlich positiv, das heißt

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall f\in L^{2}(K):\quad \int _{K\times K}k(s,t)f(s)f(t)\mathrm {d} (\lambda ^{n}\otimes \lambda ^{n})(s,t)\geq 0\,,\end{aligned}}}$

wobei ${\displaystyle \lambda ^{n}}$ das Lebesgue-Maß auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ bezeichne, dann gilt

${\displaystyle {\begin{aligned}k(s,t)=\sum _{j=1}^{\infty }\lambda _{j}\varphi _{j}(s)\varphi _{j}(t)\,,\end{aligned}}}$

wobei die Konvergenz absolut und gleichmäßig ist.

Literatur

• Bernhard Schölkopf, Alex Smola: Learning with Kernels: Support Vector Machines, Regularization, Optimization, and Beyond (Adaptive Computation and Machine Learning), MIT Press, Cambridge, MA, 2002, ISBN 0-262-19475-9.
• Wladimir Wapnik: The Nature of Statistical Learning Theory, Springer Verlag, New York, NY, USA, 1995.