Satz von Mercer

Der Satz v​on Mercer i​st eine mathematische Aussage a​us dem Teilgebiet d​er Funktionalanalysis. Er i​st benannt n​ach dem Mathematiker James Mercer u​nd besagt, d​ass der Integralkern e​ines positiven, selbstadjungierten Integraloperators a​ls konvergente Reihe über s​eine Eigenwerte u​nd Eigenvektoren dargestellt werden kann.

Aussage

Sei ${\displaystyle K}$ eine kompakte Teilmenge von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Sei weiterhin ${\displaystyle k\in C(K\times K)}$ eine stetige Funktion, für die die Bedingung ${\displaystyle k(s,t)={\overline {k(t,s)}}}$ für alle ${\displaystyle s,t\in K}$ gilt, so dass der durch ${\displaystyle T_{k}\colon L^{2}(K)\rightarrow L^{2}(K)}$ definierte Integraloperator

${\displaystyle (T_{k}(f))(\cdot )=\int _{K}k(\cdot ,t)f(t)\mathrm {d} t}$

selbstadjungiert ist. Seien außerdem ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots }$ die gemäß ihrer geometrischen Vielfachheit gezählten Eigenwerte des Integraloperators ${\displaystyle T_{k}}$ mit zugehörigen orthonormierten Eigenfunktionen ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},\ldots }$. Ist der Operator ${\displaystyle T_{k}}$ zusätzlich positiv, das heißt

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall f\in L^{2}(K):\quad \int _{K\times K}k(s,t)f(s)f(t)\mathrm {d} (\lambda ^{n}\otimes \lambda ^{n})(s,t)\geq 0\,,\end{aligned}}}$

wobei ${\displaystyle \lambda ^{n}}$ das Lebesgue-Maß auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ bezeichne, dann gilt

${\displaystyle {\begin{aligned}k(s,t)=\sum _{j=1}^{\infty }\lambda _{j}\varphi _{j}(s)\varphi _{j}(t)\,,\end{aligned}}}$

wobei d​ie Konvergenz absolut u​nd gleichmäßig ist.

Literatur

• Bernhard Schölkopf, Alex Smola: Learning with Kernels: Support Vector Machines, Regularization, Optimization, and Beyond (Adaptive Computation and Machine Learning), MIT Press, Cambridge, MA, 2002, ISBN 0-262-19475-9.
• Wladimir Wapnik: The Nature of Statistical Learning Theory, Springer Verlag, New York, NY, USA, 1995.