Satz von Kronecker-Capelli

Der Satz v​on Kronecker-Capelli i​st ein Lösbarkriterium für lineare Gleichungssysteme. Er i​st nach d​en Mathematikern Leopold Kronecker (1823–1891) u​nd Alfredo Capelli (1855–1910) benannt.[1][2], w​urde aber z​uvor in verschiedenen Formulierungen bereits v​on anderen Mathematikern verwendet, darunter Fontené, Rouché u​nd Frobenius.[3] Dementsprechend trägt d​er Satz i​n der (internationalen) Literatur o​ft unterschiedliche Namen, w​ird einfach a​ls Lösbarkeitskriterium bezeichnet o​der namenlos verwendet.[1]

Aussage

Zu e​inem linearen Gleichungssystem

${\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}\,+&\cdots &+\,a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}\,+&\cdots &+\,a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\&&&\vdots &\\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}\,+&\cdots &+\,a_{mn}x_{n}&=&b_{m}\\\end{matrix}}}$

bezeichne ${\displaystyle A}$ die seine Koeffizientenmatrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}}$

und ${\displaystyle (A|b)}$ die seine erweiterte Koeffizientenmatrix

${\displaystyle \left({\begin{array}{cccc|c}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}&b_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}&b_{m}\end{array}}\right)}$

Der Satz von Kronecker-Capelli besagt nun, dass dieses Gleichungssystem genau dann (mindestens) eine Lösung besitzt, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix ${\displaystyle A}$ dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ${\displaystyle (A|b)}$ entspricht, also

${\displaystyle {\text{rang}}(A)={\text{rang}}(A|b)}$

gilt.

Literatur

• Kronecker-Capelli theorem in der Encyclopaedia of Mathematics
• Andreas Filler: Elementare Lineare Algebra: Linearisieren und Koordinatisieren. Springer, 2011, ISBN 9783827424136, S. 34-40
• Georgi E. Shilov, Richard A. Silverman: An Introduction to the Theory of Linear Spaces. Courier (Dover), 2012, ISBN 9780486139432, S. 54-55

Weblinks

• Kronecker-Capelli Theorem auf Wikibooks
• Michael Drmota: Lineare Algebra I. Skriptum, TU Wien, 2005, S. 70, Satz 4.69

Einzelnachweise

1. Andreas Filler: Elementare Lineare Algebra: Linearisieren und Koordinatisieren. Springer, 2011, ISBN 9783827424136, S. 34–40
2. Kronecker-Capelli in der Encyclopaedia of Mathematics
3. Gerd Fischer: Lineare Algebra. Vieweg, 9. Auflage, 1989, S. 125