Satz von Krein-Šmulian

Der Satz v​on Krein-Šmulian, benannt n​ach Mark Grigorjewitsch Krein u​nd Witold Lwowitsch Šmulian, i​st ein mathematischer Satz a​us der Funktionalanalysis, d​er ein Kriterium für d​ie Abgeschlossenheit e​iner konvexen Menge bezüglich d​er schwach-*-Topologie darstellt.

Formulierung des Satzes

Ist ${\displaystyle E}$ ein Banachraum, so sei ${\displaystyle E_{r}'}$ die abgeschlossene ${\displaystyle r}$-Kugel im Dualraum von ${\displaystyle E}$, wobei ${\displaystyle r>0}$ sei. Diese ist nach dem Satz von Banach-Alaoglu bezüglich der schwach-*-Topologie kompakt und daher abgeschlossen. Ist also ${\displaystyle M\subset E'}$ eine schwach-*-abgeschlossene Teilmenge, so sind auch die Mengen ${\displaystyle M\cap E_{r}',\,r>0}$ schwach-*-abgeschlossen. Der hier zu besprechende Satz sagt aus, dass für konvexe Mengen ${\displaystyle M}$ auch die Umkehrung gilt:

• Satz von Krein-Šmulian: Seien ${\displaystyle E}$ ein Banachraum und ${\displaystyle M\subset E'}$ eine konvexe Menge. Wenn ${\displaystyle M\cap E_{r}'}$ für jedes ${\displaystyle r>0}$ schwach-*-abgeschlossen ist, dann ist auch ${\displaystyle M}$ schwach-*-abgeschlossen.

Bemerkungen

Ein Beispiel

Wie das folgende Beispiel zeigt, ist die Aussage des Satzes von Krein-Šmulian falsch, wenn ${\displaystyle M}$ nicht konvex ist. Dazu seien ${\displaystyle F_{n}\subset E^{'}}$ ${\displaystyle n}$-dimensionale Teilräume mit ${\displaystyle F_{1}\subset F_{2}\subset F_{3}\subset \ldots }$ und ${\displaystyle S_{n}:=\{f\in F_{n};\|f\|=n\}}$ sei die Kugelfläche mit Radius ${\displaystyle n}$ in ${\displaystyle F_{n}}$. Da diese Kugelflächen kompakt sind, gibt es ein endliches 1/n-Netz ${\displaystyle M_{n}\subset S_{n}}$. Setze ${\displaystyle M=M_{1}\cup M_{2}\cup M_{3}\cup \ldots .}$.

Dann ist ${\displaystyle M\cap E_{r}'}$ für jedes ${\displaystyle r>0}$ endlich und daher schwach-*-abgeschlossen. ${\displaystyle M}$ selbst ist aber nicht schwach-*-abgeschlossen, denn 0 liegt im schwach-*-Abschluss von ${\displaystyle M}$. Dazu ist zu zeigen, dass jede Menge der Form ${\displaystyle U=\{f\in E\,';|f(x_{1})|<\epsilon ,\ldots |f(x_{m})|<\epsilon \}}$, wobei ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m}\in E}$ und ${\displaystyle \epsilon >0}$, ein Element aus ${\displaystyle M}$ enthält. Wähle dazu ${\displaystyle n}$ so groß, dass ${\displaystyle \max _{i=1,\ldots m}\|x_{i}\|<n\epsilon }$ und ${\displaystyle n>m}$. Wegen letzterem gibt es aus Dimensionsgründen ein ${\displaystyle g\in S_{n}}$ mit ${\displaystyle g(x_{1})=\ldots =g(x_{m})=0}$. Wähle nun ein ${\displaystyle f\in M_{n}}$ mit ${\displaystyle \|f-g\|<1/n}$. Dann ist ${\displaystyle f\in M\cap U}$, denn ${\displaystyle |f(x_{i})|=|f(x_{i})-g(x_{i})|\leq \|f-g\|\cdot \|x_{i}\|<\epsilon }$ für alle ${\displaystyle i=1,\ldots ,m}$.

Die bw*-Topologie

→ Hauptartikel: Beschränkte schwach-*-Topologie

Man erkläre eine Menge ${\displaystyle M\subset E'}$ als abgeschlossen, wenn der Durchschnitt ${\displaystyle M\cap E_{r}'}$ für jedes ${\displaystyle r>0}$ schwach-*-abgeschlossen ist. Leicht überlegt man sich, dass dadurch eine Topologie, die sogenannte bw*-Topologie, definiert ist. Wie obiges Beispiel zeigt, ist diese Topologie im Falle unendlich-dimensionaler Banachräume echt feiner als die schwach-*-Topologie. Der Satz von Krein-Šmulian kann nun wie folgt umformuliert werden:

• Seien ${\displaystyle E}$ ein Banachraum und ${\displaystyle M\subset E'}$ eine konvexe Menge. Dann stimmen der schwach-*-Abschluss und der bw*-Abschluss von ${\displaystyle M}$ überein.

Satz von Banach-Dieudonné

• Seien ${\displaystyle E}$ ein Banachraum und ${\displaystyle U\subset E'}$ ein Unterraum. ${\displaystyle U}$ ist genau dann schwach-*-abgeschlossen, wenn ${\displaystyle U\cap E_{1}^{'}}$ schwach-*-abgeschlossen ist.

Dieser nach Banach und Dieudonné benannte Satz ist wegen ${\displaystyle U\cap E_{r}^{'}=r\cdot (U\cap E_{1}^{'})}$ offenbar ein Korollar zum Satz von Krein-Šmulian.

Quellen

• M. M. Day: Normed Linear Spaces Springer-Verlag GmbH, dritte Auflage (1973) ISBN 3540061487