Satz von Hurwitz über Automorphismengruppen

Der Satz v​on Hurwitz über Automorphismengruppen (nach Adolf Hurwitz, 1893) i​st eine Aussage d​er Funktionentheorie. Er besagt, d​ass die Automorphismengruppe e​iner hyperbolischen kompakten Riemannschen Fläche endlich ist, u​nd gibt e​ine nur v​on topologischen Eigenschaften abhängige o​bere Schranke für d​eren Größe an.

Aussage

Sei ${\displaystyle X}$ eine kompakte Riemannsche Fläche vom Geschlecht ${\displaystyle g\geq 2}$ (d. h. homöomorph zu einer Sphäre ${\displaystyle S^{2}}$, an der ${\displaystyle g\geq 2}$ "Henkel" angeklebt sind). Dann ist die Gruppe der holomorphen Automorphismen ${\displaystyle \mathrm {Aut} (X)=\left\{f\colon X\to X\;{\mbox{bijektiv, holomorph}}\right\}}$ endlich und enthält maximal ${\displaystyle 84\cdot (g-1)}$ Elemente.

Für die Fälle ${\displaystyle g=0}$ (die Riemannsche Zahlenkugel ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\mathbb {C} }$ mit unendlicher Automorphismengruppe) und ${\displaystyle g=1}$ (Torus, ebenfalls mit unendlicher Automorphismengruppe) gilt die Abschätzung nicht. Die Gültigkeit der Abschätzung für ${\displaystyle g\geq 2}$ hängt damit zusammen, dass die universelle Überlagerung dieser Flächen die hyperbolische Halbebene ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ist, was für ${\displaystyle g=0,1}$ nicht mehr zutrifft.

Beispiel

Die Kleinsche Quartik, definiert durch die Gleichung ${\displaystyle x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x=0}$, als Teilmenge vom projektiven Raum ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}\mathbb {C} }$ aufgefasst, ist eine Riemannsche Fläche vom Geschlecht ${\displaystyle 3}$. Ihre Automorphismengruppe ist isomorph zu ${\displaystyle PSL(2,7)}$ und besteht aus ${\displaystyle 168=84\cdot (3-1)}$ Elementen.

Literatur

• A. Hurwitz: Über algebraische Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich. In: Math. Ann. Band 41, 1893, S. 403–442.